有放回简单随机抽样情况下,如果将样本量增大到原来的4倍,则以下说法正确的有()。A. 总体均值置信区间的宽度减小为原来的二分之一B. 样本均值的标准差增大为原来的4倍C. 样本均值的标准差增大为原来的2倍D. 样本均值的标准差减小为原来的二分之一E. 样本均值的标准差减小原来的四分之一

本题考查有放回简单随机抽样中样本量变化对总体均值置信区间宽度和样本均值标准差的影响。解题思路是分别根据总体均值置信区间宽度和样本均值标准差的计算公式，分析样本量增大到原来的4倍时它们的变化情况。

1. 分析总体均值置信区间宽度的变化

在有放回简单随机抽样中，总体均值$\mu$在置信水平$1 - \alpha$下的置信区间为$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。
置信区间的宽度$W = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
设原来的样本量为$n_1$，对应的置信区间宽度为$W_1 = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$。
现在样本量增大到原来的4倍，即$n_2 = 4n_1$，此时置信区间宽度为$W_2 = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n_2}} = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{4n_1}}$。
对$W_2$进行化简：
$\begin{align*}W_2&= 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{4n_1}}\\&= 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{2\sqrt{n_1}}\\&=\frac{1}{2} \times (2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}})\\&=\frac{1}{2}W_1\end{align*}$
所以总体均值置信区间的宽度减小为原来的二分之一，选项A正确。

2. 分析样本均值标准差的变化

在有放回简单随机抽样中，样本均值$\bar{X}$的标准差$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。
设原来的样本量为$n_1$，对应的样本均值标准差为$\sigma_{\bar{X}1} = \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$。
现在样本量增大到原来的4倍，即$n_2 = 4n_1$，此时样本均值标准差为$\sigma_{\bar{X}2} = \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}} = \frac{\sigma}{\sqrt{4n_1}}$。
对$\sigma_{\bar{X}2}$进行化简：
$\begin{align*}\sigma_{\bar{X}2}&= \frac{\sigma}{\sqrt{4n_1}}\\&= \frac{\sigma}{2\sqrt{n_1}}\\&=\frac{1}{2} \times (\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}})\\&=\frac{1}{2}\sigma_{\bar{X}1}\end{align*}$
所以样本均值的标准差减小为原来的二分之一，选项D正确。