题目
1.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准质量(单位：g)为500.设罐重是服从正态分布的随机变量，根据多年的观测结果，其标准差σ=10.每隔一段时间要检测装罐机工作是否正常.现从中抽取10罐，测得平均质量为507，问这段时间装罐机工作是否正常?
1.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准质量(单位：g)为500.
设罐重是服从正态分布的随机变量，根据多年的观测结果，其标准差σ=10.
每隔一段时间要检测装罐机工作是否正常.现从中抽取10罐，测得平均质量
为507，问这段时间装罐机工作是否正常?
题目解答
答案
设罐头质量 $X \sim N(\mu, 10^2)$，已知 $\mu_0 = 500$，$\sigma = 10$，$\bar{x} = 507$，$n = 10$，$\alpha = 0.05$。
**假设检验：**
$H_0: \mu = 500$ vs $H_1: \mu \neq 500$
**检验统计量：**
\[ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{507 - 500}{10 / \sqrt{10}} \approx 2.214 \]
**临界值：**
$Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$
**结论：**
因 $Z = 2.214 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
**答案：**
装罐机工作不正常。
\[
\boxed{\text{装罐机工作不正常}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的假设检验，涉及Z检验的应用，以及如何根据检验结果判断生产过程是否正常。
解题核心思路：
- 建立假设：原假设为装罐机工作正常（均值μ=500g），备择假设为工作异常（均值μ≠500g）。
- 计算检验统计量：利用样本均值、总体标准差、样本量计算Z值。
- 确定临界值：根据显著性水平α=0.05（双侧检验）查标准正态分布表。
- 比较判断：若检验统计量超过临界值，则拒绝原假设，否则接受。
破题关键点：
- 明确检验类型：总体方差已知且正态分布，选择Z检验。
- 正确计算Z值：注意分母为标准差除以样本量的平方根。
- 双侧检验临界值：需分左右两侧，临界值为±1.96。
建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 500$（装罐机工作正常）
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 500$（装罐机工作异常）
计算检验统计量
检验统计量公式为：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
代入数据：
$Z = \frac{507 - 500}{10 / \sqrt{10}} = \frac{7}{3.162} \approx 2.214$
确定临界值
双侧检验下，显著性水平$\alpha=0.05$，临界值为：
$Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$
结论判断
- 检验统计量 $Z=2.214$ 大于临界值 $1.96$，落入拒绝域。
- 拒绝原假设，说明罐头平均质量与标准值500g存在显著差异，装罐机工作异常。