六、(10分)若总体X的概率密度函数为f(x,theta)=}(1)/(theta^2)xe^-(x)/(theta),&x>00,&xleq0,其中theta>0为未知参数，X_(1),X_(2),...,X_(n)是其样本，x_(1),...,x_(n)是相应的样本观测值.(1)求theta的矩估计与极大似然估计；(2)问(1)中所求得的估计量是否为无偏估计量.

本题主要考查参数估计中的矩估计、极大似然估计以及无偏估计量的判断。解题思路如下：

（1）求$\theta$的矩估计与极大似然估计

• 矩估计：
  • 首先，根据期望的定义计算总体$X$的期望$E(X)$。对于连续型随机变量，期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，已知总体$X$的概率密度函数$f(x,\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^{2}}xe^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$，则$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta^{2}}xe^{-\frac{x}{\theta}}dx$。
  • 利用分部积分法$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，令$u = x^{2}$，$\mathrm{d}v=\frac{1}{\theta^{2}}e^{-\frac{x}{\theta}}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$，$v=- \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}$。
  • 所以$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta^{2}}xe^{-\frac{x}{\theta}}dx=\left[- \frac{x^{2}}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\right]_{0}^{+\infty}+\frac{2}{\theta}\int_{0}^{+\infty}xe^{-\frac{x}{\theta}}dx$。
  • 对于$\lim\limits_{x \to +\infty}- \frac{x^{2}}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}$，使用洛必达法则两次可得其值为$0$，$\left[- \frac{x^{2}}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\right]_{0}^{+\infty}=0$。
  • 再对$\frac{2}{\theta}\int_{0}^{+\infty}xe^{-\frac{x}{\theta}}dx$使用分部积分法，令$u = x$，$\mathrm{d}v=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=-e^{-\frac{x}{\theta}}$，可得$\frac{2}{\theta}\int_{0}^{+\infty}xe^{-\frac{x}{\theta}}dx=\frac{2}{\theta}\left(\left[-xe^{-\frac{x}{\theta}}\right]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\right)$。
  • 同样$\lim\limits_{x \to +\infty}-xe^{-\frac{x}{\theta}} = 0$，$\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\left[-\theta e^{-\frac{x}{\theta}}\right]_{0}^{+\infty}=\theta$，所以$E(X)=2\theta$。
  • 然后，用样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$代替总体期望$E(X)$，即令$\overline{X}=E(X)=2\theta$，解得$\theta$的矩估计量$\hat{\theta}_{\text{矩}}=\frac{\overline{X}}{2}$。
• 极大似然估计：
  • 似然函数$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_{i},\theta)$，因为$f(x_{i},\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^{2}}x_{i}e^{-\frac{x_{i}}{\theta}},&x_{i}>0\\0,&x_{i}\leq0\end{cases}$，所以$L(\theta)=\frac{1}{\theta^{2n}}\left(\prod_{i = 1}^{n}x_{i}\right)e^{-\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{\theta}}$，$x_{i}>0(i = 1,2,\cdots,n)$。
  • 取对数得$\ln L(\theta)=-2n\ln\theta+\ln\left(\prod_{i = 1}^{n}x_{i}\right)-\frac{1}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$。
  • 对$\ln L(\theta)$关于$\theta$求导：$\frac{\mathrm{d}\ln L(\theta)}{\mathrm{d}\theta}=-\frac{2n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$。
  • 令$\frac{\mathrm{d}\ln L(\theta)}{\mathrm{d}\theta}=0$，即$-\frac{2n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}=0$，通分得到$\frac{-2n\theta+\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{\theta^{2}} = 0$，因为$\theta>0$，所以$-2n\theta+\sum_{i = 1}^{n}x_{i}=0$，解得$\theta=\frac{1}{2n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}=\frac{\overline{X}}{2}$，所以$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}_{\text{似然}}=\frac{\overline{X}}{2}$。

（2）判断（1）中所求得的估计量是否为无偏估计量

• 计算$E(\hat{\theta})$，因为$\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{2}$，根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（$a$为常数），则$E(\hat{\theta})=E\left(\frac{\overline{X}}{2}\right)=\frac{1}{2}E(\overline{X})$。
• 又因为$E(\overline{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$，而$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体$X$的样本，所以$E(X_{i})=E(X)=2\theta$，则$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot n\cdot 2\theta = 2\theta$。
• 所以$E(\hat{\theta})=\frac{1}{2}E(\overline{X})=\frac{1}{2}\times2\theta=\theta$，根据无偏估计量的定义，若$E(\hat{\theta})=\theta$，则$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量，所以（1）中所求得的估计量是无偏估计量。