题目
六、(10分)若总体X的概率密度函数为f(x,theta)=}(1)/(theta^2)xe^-(x)/(theta),&x>00,&xleq0,其中theta>0为未知参数，X_(1),X_(2),...,X_(n)是其样本，x_(1),...,x_(n)是相应的样本观测值.(1)求theta的矩估计与极大似然估计；(2)问(1)中所求得的估计量是否为无偏估计量.
六、(10分)若总体X的概率密度函数为
$f(x,\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^{2}}xe^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases},$
其中$\theta>0$为未知参数，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是其样本，$x_{1},\cdots,x_{n}$是相应的样本观测值.
(1)求$\theta$的矩估计与极大似然估计；
(2)问(1)中所求得的估计量是否为无偏估计量.
题目解答
答案
(1) **矩估计**
计算期望 $E(X) = 2\theta$，令样本均值 $\overline{X}$ 等于期望，解得 $\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{\overline{X}}{2}$。
(2) **极大似然估计**
似然函数 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^{2n}} \left( \prod x_i \right) e^{-\frac{\sum x_i}{\theta}}$，取对数并求导得 $\hat{\theta}_{\text{似然}} = \frac{\overline{X}}{2}$。
(3) **无偏性**
计算期望 $E(\hat{\theta}) = \theta$，故估计量无偏。
**答案：**
(1) $\theta$ 的估计量均为 $\boxed{\frac{\overline{X}}{2}}$。
(2) 该估计量是无偏估计量。