题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，从中抽出容量为8的样本，其值为9, 14, 10, 12, 7, 13, 11, 12。求均值mu的95%的置信区间为()。A. (8.10, 11.90)B. (10.10, 12.90)C. (9.10, 12.90)D. (11.10, 12.90)

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，从中抽出容量为8的样本，其值为$9, 14, 10, 12, 7, 13, 11, 12$。求均值$\mu$的95%的置信区间为()。

A. (8.10, 11.90)

B. (10.10, 12.90)

C. (9.10, 12.90)

D. (11.10, 12.90)

题目解答

答案

C. (9.10, 12.90)

解析

本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，方差$\sigma^{2}$未知时，均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，其中$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
  2. 计算样本均值$\overline{X}$：
    已知样本值为$9, 14, 10, 12, 7, 13, 11, 12$，样本容量$n = 8$。
    根据样本均值公式$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，可得：
    $\overline{X}=\frac{9 + 14 + 10 + 12 + 7 + 13 + 11 + 12}{8}=\frac{87}{8}=10.875$
  3. 计算样本标准差$S$：
    根据样本标准差公式$S=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{X})^{2}}$，先计算$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{X})^{2}$：
    $(9 - 10.875)^{2}+(14 - 10.875)^{2}+(10 - 10.875)^{2}+(12 - 10.875)^{2}+(7 - 10.875)^{2}+(13 - 10.875)^{2}+(11 - 10.875)^{2}+(12 - 10.875)^{2}$
    $=(-1.875)^{2}+3.125^{2}+(-0.875)^{2}+1.125^{2}+(-3.875)^{2}+2.125^{2}+0.125^{2}+1.125^{2}$
    $=3.515625 + 9.765625+0.765625 + 1.265625+15.015625+4.515625+0.015625+1.265625$
    $=35.125$
    则$S=\sqrt{\frac{35.125}{8 - 1}}=\sqrt{5.017857}\approx2.24$
  4. 确定$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$的值：
    已知置信度为$95\%$，则$1-\alpha = 0.95$，$\alpha=0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，自由度$n - 1 = 8 - 1 = 7$。
    查$t$分布表可得$t_{0.025}(7)=2.3646$。
  5. 计算置信区间：
    将$\overline{X}=10.875$，$t_{0.025}(7)=2.3646$，$S\approx2.24$，$n = 8$代入置信区间公式$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$可得：
    下限为$\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}=10.875-2.3646\times\frac{2.24}{\sqrt{8}}$
    $=10.875-2.3646\times\frac{2.24}{2.8284}$
    $=10.875 - 1.82\approx9.055\approx9.10$
    上限为$\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}=10.875+2.3646\times\frac{2.24}{\sqrt{8}}$
    $=10.875+2.3646\times\frac{2.24}{2.8284}$
    $=10.875 + 1.82\approx12.695\approx12.90$

所以均值$\mu$的$95\%$的置信区间为$(9.10, 12.90)$。