【单选题】关于算术平均数的性质,不正确的描述是()。A. 各变量值对算术平均数的偏差和为零B. 算术平均数受抽样变动影响微小C. 算术平均数受极端值的影响微小；D. 各变量值对算术平均数的偏差的平方和，小于它们对任何其它数偏差的平方和

本题考查算术平均数的基本性质，需明确其核心特点：

1. 各变量值对平均数的偏差和为零（数学性质）；
2. 平方和最小性（统计学性质）；
3. 对极端值的敏感性（实际应用中的局限性）；
4. 抽样稳定性（统计推断中的优势）。

关键破题点：明确算术平均数的定义与性质，尤其注意极端值对其的影响。

选项分析

选项A

各变量值对算术平均数的偏差和为零

• 正确性：成立。
• 推导：设平均数为$\bar{x}$，则$\sum (x_i - \bar{x}) = 0$。展开后，$\sum x_i - n\bar{x} = 0$，而$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$，等式恒成立。

选项B

算术平均数受抽样变动影响微小

• 正确性：成立。
• 解释：根据中心极限定理，样本均值的分布随样本量增大趋近于正态分布，且波动减小，说明平均数受抽样变动影响较小。

选项C

算术平均数受极端值的影响微小

• 正确性：错误。
• 反例：若数据中存在极大或极小值，平均数会被显著拉高或拉低。例如，数据$[1, 2, 3, 4, 100]$的平均数为$22$，远偏离原数据范围，说明极端值影响显著。

选项D

各变量值对算术平均数的偏差的平方和最小

• 正确性：成立。
• 数学证明：设$f(a) = \sum (x_i - a)^2$，对$a$求导并令导数为零，得$a = \bar{x}$，即平方和最小值在$a = \bar{x}$时取得。