某市场待销售的某种产品中，由甲企业生产的占20%，由乙企业生产的占30%，由丙企业生产的占50%。已知甲企业的次品率为8%，乙企业的次品率为5%，丙企业的次品率为2%。现从该市场销售的该种产品中随机抽出一个产品进行检查，求已知抽出的是次品，求他是由乙企业生产的概率。A (15)/(42)B (15)/(41)C (16)/(42)
某市场待销售的某种产品中，由甲企业生产的占20%，由乙企业生产的占30%，由丙企业生产的占50%。已知甲企业的次品率为8%，乙企业的次品率为5%，丙企业的次品率为2%。现从该市场销售的该种产品中随机抽出一个产品进行检查，求已知抽出的是次品，求他是由乙企业生产的概率。 A $\frac{15}{42}$ B $\frac{15}{41}$ C $\frac{16}{42}$
题目解答
答案
我们来一步一步地解这个概率题，使用的是贝叶斯公式。
题目信息整理
我们已知：
-
产品来源及各自占比（即先验概率）：
- 甲企业生产：20% → $ P(A) = 0.2 $
- 乙企业生产：30% → $ P(B) = 0.3 $
- 丙企业生产：50% → $ P(C) = 0.5 $
-
各企业的次品率（即条件概率）：
- 甲的次品率：8% → $ P(\text{次品} \mid A) = 0.08 $
- 乙的次品率：5% → $ P(\text{次品} \mid B) = 0.05 $
- 丙的次品率：2% → $ P(\text{次品} \mid C) = 0.02 $
问题：
已知抽到的是次品，求它是乙企业生产的概率。
即求：
$P(B \mid \text{次品})$
这属于典型的逆概率问题，使用贝叶斯公式。
贝叶斯公式：
$P(B \mid \text{次品}) = \frac{P(\text{次品} \mid B) \cdot P(B)}{P(\text{次品})}$
其中，分母 $ P(\text{次品}) $ 是总的次品概率，可以通过全概率公式计算：
$P(\text{次品}) = P(A) \cdot P(\text{次品} \mid A) + P(B) \cdot P(\text{次品} \mid B) + P(C) \cdot P(\text{次品} \mid C)$
代入数据：
$\begin{align*}P(\text{次品}) &= 0.2 \times 0.08 + 0.3 \times 0.05 + 0.5 \times 0.02 \\&= 0.016 + 0.015 + 0.010 \\&= 0.041\end{align*}$
现在计算后验概率：
$P(B \mid \text{次品}) = \frac{0.3 \times 0.05}{0.041} = \frac{0.015}{0.041}$
化简这个分数：
$\frac{0.015}{0.041} = \frac{15}{41}$
（分子分母同时乘以1000，得到 $ \frac{15}{41} $）
答案：
$\boxed{B\ \frac{15}{41}}$
解题总结：
- 明确问题是求在已知是次品的条件下，来自乙企业的概率，属于贝叶斯问题。
- 使用全概率公式计算总的次品概率。
- 代入贝叶斯公式计算后验概率。
- 化简得到最简分数。
✅ 正确答案是：B. $ \frac{15}{41} $