题目
某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径服从正态分布，从某天产品里随机抽取个，经计算其样本均值，则当已知时，总体均值的置信度为的置信区间是_________。
某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径
服从正态分布，从某天产品里随机抽取
个，经计算其样本均值
，则当已知
时，总体均值
的置信度为
的置信区间是_________。
题目解答
答案
由题设可得
，，，
因为置信度为，所以
，所以
所以
（查表得）
所以
所以总体均值的置信度为的置信区间是
解析
步骤 1：确定总体分布和已知参数
由题设可得，滚珠直径服从正态分布$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，样本均值$\overline {x}=4.364$，标准差$\sigma =0.108$，样本容量n=5。
步骤 2：确定置信水平和临界值
因为置信度为0.95，所以$1-\alpha =0.95$，所以$\alpha =0.05$。
查标准正态分布表，得到${U}_{\dfrac {a}{2}}={U}_{0.025}=1.96$。
步骤 3：计算置信区间
总体均值的置信区间为$\overline {x}\pm \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}$。
代入已知值，得到：
$\overline {x}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}=4.364-\dfrac {0.108}{\sqrt {5}}\times 1.96\approx 4.2693$
$\overline {x}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}=4.364+\dfrac {0.108}{\sqrt {5}}\times 1.96\approx 4.4587$
由题设可得，滚珠直径服从正态分布$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，样本均值$\overline {x}=4.364$，标准差$\sigma =0.108$，样本容量n=5。
步骤 2：确定置信水平和临界值
因为置信度为0.95，所以$1-\alpha =0.95$，所以$\alpha =0.05$。
查标准正态分布表，得到${U}_{\dfrac {a}{2}}={U}_{0.025}=1.96$。
步骤 3：计算置信区间
总体均值的置信区间为$\overline {x}\pm \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}$。
代入已知值，得到：
$\overline {x}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}=4.364-\dfrac {0.108}{\sqrt {5}}\times 1.96\approx 4.2693$
$\overline {x}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}{U}_{\dfrac {a}{2}}=4.364+\dfrac {0.108}{\sqrt {5}}\times 1.96\approx 4.4587$