题目

已知随机变量X服从参数为1的泊松分布，Y服从期望为2的指数分布，X，Y的相关系数为0.25，则D(3X-2Y+1)=_______.

已知随机变量X服从参数为1的泊松分布，Y服从期望为2的指数分布，X，Y的相关系数为0.25，则 $D(3X-2Y+1)=$ _______.

题目解答

答案

随机变量X服从参数 $λ=1$ 的泊松分布，则 $E\left(X\right)=λ=1,D\left(X\right)=λ=1$ ，

Y服从期望为2的指数分布，则 $E\left(Y\right)=\frac{1}{λ}=2$ ，则 $λ=\frac{1}{2}$ ，则 $D\left(Y\right)=\frac{1}{λ^2}=4$ ， $\rho_{XY}=\frac{Cov\left(X,Y\right)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$ ，则 $Cov\left(X,Y\right)=\rho_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}=0.25\times\sqrt{1}\times\sqrt{4}=0.5$ ，则 $D(3X-2Y+1)=D\left(3X-2Y\right)$ $=D\left(3X\right)+D\left(2Y\right)-2Cov\left(3X,2Y\right)$ $=9D\left(X\right)+4D\left(Y\right)-12Cov\left(X,Y\right)$ $=9\times1+4\times4-12\times0.5=19$ .

解析

步骤 1：计算随机变量X的期望和方差
随机变量X服从参数$\lambda =1$的泊松分布，则$E(X)=\lambda =1$，$D(X)=\lambda =1$。

步骤 2：计算随机变量Y的期望和方差
Y服从期望为2的指数分布，则$E(Y)=\dfrac {1}{\lambda }=2$，则$\lambda =\dfrac {1}{2}$，则$D(Y)=\dfrac {1}{{\lambda }^{2}}=4$。

步骤 3：计算X和Y的协方差
$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.25\times \sqrt{1}\times \sqrt{4}=0.5$。

步骤 4：计算D(3X-2Y+1)
$D(3X-2Y+1)=D(3X-2Y)=D(3X)+D(2Y)-2Cov(3X,2Y)=9D(X)+4D(Y)-12Cov(X,Y)=9\times 1+4\times 4-12\times 0.5=19$。