在同一总体中随机抽样,其他条件不变,样本含量越大,则A. 样本标准差S越小B. 总体均数95%的可信区间越窄C. 总体均数95%的可信区间越宽D. 样本标准差S越大E. 以上都不对
A. 样本标准差S越小
B. 总体均数95%的可信区间越窄
C. 总体均数95%的可信区间越宽
D. 样本标准差S越大
E. 以上都不对
题目解答
答案
解析
本题考查的知识点是样本含量与样本标准差以及总体均数可信区间之间的关系。解题思路是分别分析样本含量对样本标准差的影响以及对总体均数95%可信区间的影响。
1. 分析样本含量对样本标准差 $S$ 的影响
样本标准差 $S$ 是用来衡量样本数据离散程度的统计量,其计算公式为 $S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n - 1}}$,其中 $x_{i}$ 是第 $i$ 个观测值,$\bar{x}$ 是样本均值,$n$ 是样本含量。
样本标准差 $S$ 的大小主要取决于样本数据本身的离散程度,而不是样本含量 $n$ 的大小。当从同一总体中随机抽样时,总体的离散程度是固定的,所以样本标准差 $S$ 不会随着样本含量 $n$ 的增大而有必然的增大或减小趋势。因此选项A和D错误。
2. 分析样本含量对总体均数95%可信区间的影响
总体均数95%的可信区间计算公式为 $\bar{x}\pm t_{0.05/2,\nu}S_{\bar{x}}$,其中 $\bar{x}$ 是样本均值,$t_{0.05/2,\nu}$ 是自由度为 $\nu=n - 1$ 时的 $t$ 界值,$S_{\bar{x}}=\frac{S}{\sqrt{n}}$ 是样本均数的标准误。
当样本含量 $n$ 增大时,自由度 $\nu=n - 1$ 也增大,随着自由度的增大,$t_{0.05/2,\nu}$ 会逐渐趋近于 $z_{0.05/2}=1.96$ 且逐渐减小;同时,样本均数的标准误 $S_{\bar{x}}=\frac{S}{\sqrt{n}}$ 中,分母 $\sqrt{n}$ 增大,$S_{\bar{x}}$ 会减小。
由于可信区间的宽度由 $t_{0.05/2,\nu}S_{\bar{x}}$ 决定,$t_{0.05/2,\nu}$ 减小且 $S_{\bar{x}}$ 减小,所以总体均数95%的可信区间会变窄。因此选项B正确,选项C错误。