题目
求函数 =x-2arctan x 的单调区间和极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=x-2\arctan x$ 的导数。根据导数的定义和基本导数公式，我们有：
$$
y' = \frac{d}{dx}(x) - 2\frac{d}{dx}(\arctan x) = 1 - 2\frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2}
$$
步骤 2：求驻点
令导数等于零，求出驻点：
$$
y' = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} = 0
$$
解得 $x = \pm 1$。
步骤 3：判断单调性
根据导数的符号，我们可以判断函数的单调性。当 $-\infty < x < -1$ 时，$y' > 0$，函数单调递增；当 $-1 < x < 1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减；当 $1 < x < +\infty$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
步骤 4：求极值
根据单调性，我们可以判断函数的极值。当 $x = -1$ 时，函数取得极大值 $y(-1) = -1 - 2\arctan(-1) = \frac{\pi}{2} - 1$；当 $x = 1$ 时，函数取得极小值 $y(1) = 1 - 2\arctan(1) = 1 - \frac{\pi}{2}$。
首先，我们需要求出函数 $y=x-2\arctan x$ 的导数。根据导数的定义和基本导数公式，我们有：
$$
y' = \frac{d}{dx}(x) - 2\frac{d}{dx}(\arctan x) = 1 - 2\frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2}
$$
步骤 2：求驻点
令导数等于零，求出驻点：
$$
y' = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} = 0
$$
解得 $x = \pm 1$。
步骤 3：判断单调性
根据导数的符号，我们可以判断函数的单调性。当 $-\infty < x < -1$ 时，$y' > 0$，函数单调递增；当 $-1 < x < 1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减；当 $1 < x < +\infty$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
步骤 4：求极值
根据单调性，我们可以判断函数的极值。当 $x = -1$ 时，函数取得极大值 $y(-1) = -1 - 2\arctan(-1) = \frac{\pi}{2} - 1$；当 $x = 1$ 时，函数取得极小值 $y(1) = 1 - 2\arctan(1) = 1 - \frac{\pi}{2}$。