题目

28.由某机器生产的螺栓的长度(以cm计)服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布.规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.

题目解答

答案

设螺栓长度 $X$ 服从正态分布 $N(10.05, 0.06^2)$。合格范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[9.93, 10.17]$。
将范围转换为标准正态分布 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，得：
$Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2, \quad Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$
查表得 $P(Z < 2) = 0.9772$，则 $P(Z < -2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
合格概率为：
$P(-2 < Z < 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$
不合格概率为：
$1 - 0.9544 = 0.0456$

答案： $\boxed{0.0456}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用以及不合格品概率的求解。

解题核心思路：

标准化转换：将题目中的正态分布转化为标准正态分布，利用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
确定区间范围：根据合格范围计算对应的 $Z$ 值，找到对应的累积概率。
计算概率差值：通过标准正态分布表查得概率，求出合格品概率，再用 $1$ 减去得到不合格品概率。

破题关键点：

正确转换 $Z$ 值：注意上下限对应的 $Z$ 值符号。
理解对称性：不合格品概率为两侧尾部概率之和，可通过标准正态分布的对称性简化计算。

设螺栓长度 $X \sim N(10.05, 0.06^2)$，合格范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[9.93, 10.17]$。

步骤1：标准化转换

将合格范围的上下限转换为标准正态分布 $Z$：

下限 $X_1 = 9.93$ 对应的 $Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$
上限 $X_2 = 10.17$ 对应的 $Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$

步骤2：查标准正态分布表

$P(Z < 2) = 0.9772$（查表得）
$P(Z < -2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$

步骤3：计算合格概率

合格概率为 $P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$。

步骤4：求不合格概率

不合格概率为 $1 - 0.9544 = 0.0456$。