某种电池的寿命X(单位:小时)是一个随机变量,服从μ = 300,σ = 35 的正态分布,求这样的电池寿命在250 小时以上的概率,并求一允许限x,使得电池寿命在(300 – x,300 + x)内的概率不小于0.9.

本题主要考查正态分布的概率计算以及利用正态分布的性质求解参数。解题的关键在于将一般的正态分布转化为标准正态分布，再利用标准正态分布表进行概率计算。

1. 求电池寿命在 250 小时以上的概率

已知电池寿命$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu = 300$，$\sigma = 35$。
根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$（标准正态分布）。
要求$P(X\geqslant 250)$，可先将其转化为标准正态分布的形式：
$P(X\geqslant 250)=1 - P(X\lt 250)$
令$Z=\frac{X - 300}{35}$，则$P(X\lt 250)=P(\frac{X - 300}{35}\lt\frac{250 - 300}{35})=P(Z\lt\frac{250 - 300}{35})$
计算$\frac{250 - 300}{35}\approx - 1.4286$，所以$P(X\lt 250)=\varPhi(-1.4286)$。
由于标准正态分布的对称性$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，则$\varPhi(-1.4286)=1 - \varPhi(1.4286)$。
那么$P(X\geqslant 250)=1 - (1 - \varPhi(1.4286))=\varPhi(1.4286)$。
查标准正态分布表可得$\varPhi(1.4286)\approx 0.9236$。

2. 求允许限$x$

要求$P(300 - x\lt X\lt 300 + x)$，同样先将其转化为标准正态分布的形式：
令$Z=\frac{X - 300}{35}$，则$P(300 - x\lt X\lt 300 + x)=P(\frac{300 - x - 300}{35}\lt\frac{X - 300}{35}\lt\frac{300 + x - 300}{35})=P(-\frac{x}{35}\lt Z\lt\frac{x}{35})$。
根据标准正态分布的性质$P(-\frac{x}{35}\lt Z\lt\frac{x}{35})=\varPhi(\frac{x}{35}) - \varPhi(-\frac{x}{35})$，又因为$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-\frac{x}{35})=1 - \varPhi(\frac{x}{35})$。
则$P(-\frac{x}{35}\lt Z\lt\frac{x}{35})=\varPhi(\frac{x}{35})-(1 - \varPhi(\frac{x}{35}))=2\varPhi(\frac{x}{35}) - 1$。
已知$P(300 - x\lt X\lt 300 + x)\geqslant 0.9$，即$2\varPhi(\frac{x}{35}) - 1\geqslant 0.9$。
移项可得$2\varPhi(\frac{x}{35})\geqslant 0.9 + 1 = 1.9$，两边同时除以 2 得$\varPhi(\frac{x}{35})\geqslant 0.95$。
查标准正态分布表可知，当$\varPhi(z)=0.95$时，$z\approx 1.65$，所以$\frac{x}{35}\geqslant 1.65$。
两边同时乘以 35 得$x\geqslant 1.65\times35 = 57.75$。