题目
5.设x1,x2,···,x,是来自-|||-(x;theta )=theta cdot (x)^theta -1 , lt xlt 1 ,theta gt 0-|||-的样本,试给出一个充分统计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出样本的联合密度函数
样本的联合密度函数为 $P(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta \cdot x_i^{\theta - 1} = \theta^n \cdot \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta - 1}$。
步骤 2：应用因子分解定理
根据因子分解定理，如果联合密度函数可以分解为 $g(T(x), \theta) \cdot h(x)$ 的形式，其中 $T(x)$ 是统计量，$g$ 和 $h$ 是函数，那么 $T(x)$ 是 $\theta$ 的充分统计量。在本题中，$T(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i$，$g(T(x), \theta) = \theta^n \cdot T(x)^{\theta - 1}$，$h(x) = 1$。
步骤 3：确定充分统计量
根据因子分解定理，$T(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i$ 是 $\theta$ 的充分统计量。另外，$T(x)$ 的对数变换 $\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$ 也是 $\theta$ 的充分统计量。
样本的联合密度函数为 $P(x_1, x_2, \cdots, x_n; \theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta \cdot x_i^{\theta - 1} = \theta^n \cdot \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta - 1}$。
步骤 2：应用因子分解定理
根据因子分解定理，如果联合密度函数可以分解为 $g(T(x), \theta) \cdot h(x)$ 的形式，其中 $T(x)$ 是统计量，$g$ 和 $h$ 是函数，那么 $T(x)$ 是 $\theta$ 的充分统计量。在本题中，$T(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i$，$g(T(x), \theta) = \theta^n \cdot T(x)^{\theta - 1}$，$h(x) = 1$。
步骤 3：确定充分统计量
根据因子分解定理，$T(x) = \prod_{i=1}^{n} x_i$ 是 $\theta$ 的充分统计量。另外，$T(x)$ 的对数变换 $\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$ 也是 $\theta$ 的充分统计量。