5.设x1,x2,···,x,是来自-|||-(x;theta )=theta cdot (x)^theta -1 , lt xlt 1 ,theta gt 0-|||-的样本,试给出一个充分统计量.

考查要点：本题主要考查充分统计量的判断方法，特别是利用因子分解定理来确定充分统计量。

解题核心思路：

1. 写出样本的联合密度函数，将其分解为仅依赖于统计量和参数的部分，以及与参数无关的部分。
2. 根据因子分解定理，若联合密度函数可分解为 $g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})$，则 $T(\mathbf{x})$ 是充分统计量。

破题关键点：

• 正确展开联合密度函数，整理出与参数 $\theta$ 相关的部分。
• 识别出能够独立于样本其他信息的统计量形式（如乘积、对数和等）。

步骤1：写出联合密度函数

样本 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的联合密度函数为：
$\begin{aligned}P(x_1, x_2, \dots, x_n; \theta) &= \prod_{i=1}^n \theta \cdot x_i^{\theta - 1} \\&= \theta^n \cdot \prod_{i=1}^n x_i^{\theta - 1} \\&= \theta^n \cdot \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta - 1}.\end{aligned}$

步骤2：应用因子分解定理

将联合密度函数分解为两部分：

• 依赖 $\theta$ 的部分：$\theta^n \cdot \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta - 1}$，记为 $g\left( \prod_{i=1}^n x_i, \theta \right)$。
• 与 $\theta$ 无关的部分：$h(x_1, x_2, \dots, x_n) = 1$。

步骤3：确定充分统计量

根据因子分解定理，统计量 $T = \prod_{i=1}^n x_i$ 是充分统计量。此外，以下统计量也等价：

• 对数变换：$\sum_{i=1}^n \ln x_i$（因 $\ln T = \sum \ln x_i$）。
• 对数均值：$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i$（对数变换的缩放，保持充分性）。