题目
1.21 一质点在y轴上作加速运动,开始时 =(y)_(0) =(v)_(0) 若(1)加速度 =kt+c, 求任-|||-意时刻的速度和位置,其中k、c为常量;(2)加速度 =-kv, 求任意时刻的速度和位置;(3)-|||-加速度 =kx, 求任意位置的速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求速度
(1) 加速度 a=kt+c ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = v_0 + \int_{0}^{t} (kt + c) dt = v_0 + \frac{1}{2}kt^2 + ct
$$
步骤 2：求位置
位置 y 可以通过积分速度得到：
$$
y = y_0 + \int_{0}^{t} (v_0 + \frac{1}{2}kt^2 + ct) dt = y_0 + v_0t + \frac{1}{2}kt^2 + \frac{1}{6}kt^3
$$
步骤 3：求速度
(2) 加速度 a=-kv ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = v_0 e^{-kt}
$$
步骤 4：求位置
位置 y 可以通过积分速度得到：
$$
y = y_0 - \frac{v_0}{k}(e^{-kt} - 1)
$$
步骤 5：求速度
(3) 加速度 a=kx ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = \sqrt{v_0^2 + k(y^2 - y_0^2)}
$$
(1) 加速度 a=kt+c ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = v_0 + \int_{0}^{t} (kt + c) dt = v_0 + \frac{1}{2}kt^2 + ct
$$
步骤 2：求位置
位置 y 可以通过积分速度得到：
$$
y = y_0 + \int_{0}^{t} (v_0 + \frac{1}{2}kt^2 + ct) dt = y_0 + v_0t + \frac{1}{2}kt^2 + \frac{1}{6}kt^3
$$
步骤 3：求速度
(2) 加速度 a=-kv ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = v_0 e^{-kt}
$$
步骤 4：求位置
位置 y 可以通过积分速度得到：
$$
y = y_0 - \frac{v_0}{k}(e^{-kt} - 1)
$$
步骤 5：求速度
(3) 加速度 a=kx ,速度 v 可以通过积分加速度得到：
$$
v = \sqrt{v_0^2 + k(y^2 - y_0^2)}
$$