1.[判断题]若T~ t(n)，则T^2~F(1，n)A. 对B. 错

本题考查t分布与F分布的关系。解题关键是利用t分布分布和F分布的定义推导$T^2$的分布。

步骤1：t分布的定义

若$T \sim t(n)$，根据t分布定义：
$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$，其中：

• $X \sim N(0,1)$（标准正态分布），
• $Y \sim \chi^2(n)$（自由度为$n$的卡方分布），
• $X$与$Y$相互独立。

步骤2：计算$T^2$

$T^2 = \left(\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\right)^2 = \frac{X^2}{Y/n}$

步骤3：分析$X^2$的分布

由于$X \sim N(01$，则$X^2 \sim \chi^2(1)$（自由度为1的卡方分布）。

步骤4：F分布的定义

F分布定义为：若$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(k)$，且$U$与$V$独立，则：
$F(m,k) = \frac{U/m}{V/k} \sim F(mk)$

步骤5：匹配$T^2$与F分布

对比$T^2$的表达式：
$T^2 = \frac{X^2/1}{(Y/n)/n} \quad (\text{因分母}\ Y/n \text{中，}\chi^2(n)\text{的自由度为}\ n)$
这里$U=X^2 \sim \chi^2(1)$，$V=Y \sim \chi^2(n)$，故：
$T^2 \sim F(1n)$