题目

23.设X服从 N(-1,16) ,借助于标准正态分布的分布函数表计算-|||-(1) Xlt 2.44 -|||-;(2) Xgt -1.5 -|||-;(3) Xlt -2.8 ;-|||-(4) |X|lt 4 -|||-;(5) -5lt Xlt 2 -|||-;(6) |X-1|gt 1 。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，需要将非标准正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布表求解概率。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将原变量$X$转换为标准正态变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = -1$，$\sigma = 4$。
  2. 查表计算：根据标准化后的$Z$值，结合标准正态分布函数$\Phi(z)$的性质（如对称性、分位数关系）计算概率。
  3. 区间处理：对绝对值形式的概率（如$|X| < 4$）需转化为对应的区间范围，再分段计算。

破题关键点：

  • 正确转换$Z$值：注意符号和计算精度。
  • 灵活运用$\Phi(z)$的性质：如$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$，以及区间概率的叠加与差值关系。

第（1）题：$P\{ X < 2.44 \}$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{2.44 - (-1)}{4} = \frac{3.44}{4} = 0.86$
  2. 查表：
    $\Phi(0.86) = 0.8051$，因此概率为$0.8051$。

第（2）题：$P\{ X > -1.5 \}$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{-1.5 - (-1)}{4} = \frac{-0.5}{4} = -0.125$
  2. 对称性转换：
    $P(Z > -0.125) = 1 - \Phi(-0.125)$
  3. 线性插值：
    $\Phi(-0.12) = 0.4522$，$\Phi(-0.13) = 0.4483$，取平均值$\Phi(-0.125) \approx 0.45025$，故概率为$1 - 0.45025 = 0.5498$。

第（3）题：$P\{ X < -2.8 \}$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{-2.8 - (-1)}{4} = \frac{-1.8}{4} = -0.45$
  2. 查表：
    $\Phi(-0.45) = 0.3264$，因此概率为$0.3264$。

第（4）题：$P\{ |X| < 4 \}$

  1. 区间转换：
    $-4 < X < 4$，对应$Z$值为：
    $Z_1 = \frac{-4 - (-1)}{4} = -0.75, \quad Z_2 = \frac{4 - (-1)}{4} = 1.25$
  2. 查表计算：
    $\Phi(1.25) - \Phi(-0.75) = 0.8944 - 0.2266 = 0.6678$

第（5）题：$P\{ -5 < X < 2 \}$

  1. 标准化：
    $Z_1 = \frac{-5 - (-1)}{4} = -1, \quad Z_2 = \frac{2 - (-1)}{4} = 0.75$
  2. 查表计算：
    $\Phi(0.75) - \Phi(-1) = 0.7734 - 0.1587 = 0.6147$

第（6）题：$P\{ |X - 1| > 1 \}$

  1. 区间转换：
    $X - 1 > 1$或$X - 1 < -1$，即$X > 2$或$X < 0$。
  2. 标准化：
    $Z_1 = \frac{2 - (-1)}{4} = 0.75, \quad Z_2 = \frac{0 - (-1)}{4} = 0.25$
  3. 概率叠加：
    $P(X > 2) + P(X < 0) = [1 - \Phi(0.75)] + \Phi(0.25) = (1 - 0.7734) + 0.5987 = 0.8253$