题目
调节一台装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察发现这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子组成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。
调节一台装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察发现这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子组成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。
题目解答
答案
为了确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率，我们需要使用正态分布的性质和中心极限定理。以下是解题步骤：
1. **确定样本均值的分布：**
样本均值 $\bar{X}$ 服从均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma / \sqrt{n}$ 的正态分布，其中 $\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本大小。这里，$\sigma = 1.0$ 盎司，$n = 9$，所以样本均值的标准差为：
\[
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.0}{\sqrt{9}} = \frac{1.0}{3} \approx 0.3333 \text{ 盎司}
\]
2. **定义 deviations:**
我们需要找到样本均值 $\bar{X}$ 偏离总体均值 $\mu$ 不超过0.3盎司的概率，即：
\[
P(-0.3 \leq \bar{X} - \mu \leq 0.3)
\]
3. **标准化样本均值：**
为了使用标准正态分布表，我们将样本均值转换为标准正态变量 $Z$：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{0.3333}
\]
因此，不等式 $-0.3 \leq \bar{X} - \mu \leq 0.3$ 变为：
\[
\frac{-0.3}{0.3333} \leq Z \leq \frac{0.3}{0.3333}
\]
简化得到：
\[
-0.9 \leq Z \leq 0.9
\]
4. **找到 $Z$ 的概率：**
我们需要找到 $P(-0.9 \leq Z \leq 0.9)$。使用标准正态分布表，我们首先找到 $P(Z \leq 0.9)$ 和 $P(Z \leq -0.9)$：
\[
P(Z \leq 0.9) \approx 0.8159
\]
\[
P(Z \leq -0.9) \approx 0.1841
\]
因此，$P(-0.9 \leq Z \leq 0.9)$ 为：
\[
P(-0.9 \leq Z \leq 0.9) = P(Z \leq 0.9) - P(Z \leq -0.9) = 0.8159 - 0.1841 = 0.6318
\]
所以，样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率是 $\boxed{0.6318}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的性质和中心极限定理的应用，以及如何计算样本均值的概率范围。
解题核心思路：
- 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，标准差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 标准化处理：将样本均值的范围转化为标准正态变量$Z$的范围，利用标准正态分布表计算概率。
- 查表求概率：通过$Z$值查标准正态分布表，计算对应区间的概率。
破题关键点：
- 正确计算样本均值的标准差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{3}$。
- 准确转换为标准正态变量：$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$。
- 利用对称性简化计算：通过$Z$值的对称性快速查表。
1. 确定样本均值的分布
根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$服从正态分布，均值为$\mu$，标准差为：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.0}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \text{ 盎司}.$
2. 定义概率范围
要求样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率，即：
$P(-0.3 \leq \bar{X} - \mu \leq 0.3).$
3. 标准化处理
将不等式转换为标准正态变量$Z$：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{0.3333}.$
代入不等式得：
$\frac{-0.3}{0.3333} \leq Z \leq \frac{0.3}{0.3333} \quad \Rightarrow \quad -0.9 \leq Z \leq 0.9.$
4. 查标准正态分布表
- $P(Z \leq 0.9) \approx 0.8159$（查表得$Z=0.9$对应的累积概率）。
- $P(Z \leq -0.9) \approx 0.1841$（利用对称性，$P(Z \leq -0.9) = 1 - P(Z \leq 0.9)$）。
- 最终概率为：
$P(-0.9 \leq Z \leq 0.9) = 0.8159 - 0.1841 = 0.6318.$