题目
若已知四个点A(1,-1,0)，B(1,2,3)，C(2,1,3)，D(3,0,4)，则以AB，AC和AD为相邻棱的平行六面体的体积为( )
若已知四个点A(1,-1,0)，B(1,2,3)，C(2,1,3)，D(3,0,4)，则以AB，AC和AD为相邻棱的平行六面体的体积为( )
题目解答
答案
∵A(1,-1,0)，B(1,2,3)，C(2,1,3)，D(3,0,4)
∴
∴
∴
∴
∴S△ABC=
∴
组成的平行四边形的面积S=2S△ABC=
设平面ABC一个法向量
∴
，即
∴
∴D到平面ABC的距离为
∴平行六面体的体积为
故答案为：3
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {AD}$
根据点A(1,-1,0)，B(1,2,3)，C(2,1,3)，D(3,0,4)，计算向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {AD}$。
步骤 2：计算向量的模长
计算向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {AD}$的模长。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角余弦值
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的点积计算它们的夹角余弦值。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角正弦值
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角余弦值计算它们的夹角正弦值。
步骤 5：计算三角形ABC的面积
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的模长和夹角正弦值计算三角形ABC的面积。
步骤 6：计算平行四边形ABCD的面积
利用三角形ABC的面积计算平行四边形ABCD的面积。
步骤 7：计算向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度
利用向量$\overrightarrow {AD}$和向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$的点积计算向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度。
步骤 8：计算平行六面体的体积
利用平行四边形ABCD的面积和向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度计算平行六面体的体积。
根据点A(1,-1,0)，B(1,2,3)，C(2,1,3)，D(3,0,4)，计算向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {AD}$。
步骤 2：计算向量的模长
计算向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {AD}$的模长。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角余弦值
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的点积计算它们的夹角余弦值。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角正弦值
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的夹角余弦值计算它们的夹角正弦值。
步骤 5：计算三角形ABC的面积
利用向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的模长和夹角正弦值计算三角形ABC的面积。
步骤 6：计算平行四边形ABCD的面积
利用三角形ABC的面积计算平行四边形ABCD的面积。
步骤 7：计算向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度
利用向量$\overrightarrow {AD}$和向量$\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AC}$的点积计算向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度。
步骤 8：计算平行六面体的体积
利用平行四边形ABCD的面积和向量$\overrightarrow {AD}$在平面ABC上的投影长度计算平行六面体的体积。