题目
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=一f(ξ)cotξ.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=一f(ξ)cotξ.
题目解答
答案
正确答案:令φ(x)=f(x)sin.r,则φ(0)=φ(π)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,π),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx, 于是f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0,故f′(ξ)=一f(ξ)cotξ. 涉及知识点:中值定理与一元函数微分学的应用
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数φ(x) = f(x)sinx，这样做的目的是为了利用罗尔定理。φ(x)在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且φ(0) = φ(π) = 0。
步骤 2：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果函数φ(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且φ(a) = φ(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ) = 0。这里a = 0，b = π，所以至少存在一点ξ∈(0,π)，使得φ'(ξ) = 0。
步骤 3：计算φ'(x)
计算φ(x)的导数φ'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx。根据步骤2，存在ξ∈(0,π)，使得φ'(ξ) = 0，即f'(ξ)sinξ + f(ξ)cosξ = 0。
步骤 4：求解f'(ξ)
从f'(ξ)sinξ + f(ξ)cosξ = 0，可以解出f'(ξ) = -f(ξ)cotξ，其中cotξ = cosξ/sinξ。
构造辅助函数φ(x) = f(x)sinx，这样做的目的是为了利用罗尔定理。φ(x)在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且φ(0) = φ(π) = 0。
步骤 2：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果函数φ(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且φ(a) = φ(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ) = 0。这里a = 0，b = π，所以至少存在一点ξ∈(0,π)，使得φ'(ξ) = 0。
步骤 3：计算φ'(x)
计算φ(x)的导数φ'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx。根据步骤2，存在ξ∈(0,π)，使得φ'(ξ) = 0，即f'(ξ)sinξ + f(ξ)cosξ = 0。
步骤 4：求解f'(ξ)
从f'(ξ)sinξ + f(ξ)cosξ = 0，可以解出f'(ξ) = -f(ξ)cotξ，其中cotξ = cosξ/sinξ。