5. (10.0分) lim_(xto1)ln x^(1)/(x-1)=_.
题目解答
答案
将原式重写为对数形式：
$\lim_{x \to 1} \ln x^{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$
当 $x \to 1$ 时，$\ln x \to 0$，$x-1 \to 0$，构成 $\frac{0}{0}$ 型不定式。应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 1$
或者，令 $y = x - 1$，则 $y \to 0$ 时，
$\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y} = 1$
（由泰勒展开 $\ln(1+y) \approx y$ 当 $y \to 0$）。
答案： $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用洛必达法则或等价无穷小替换处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力。
解题核心思路：
- 对数恒等变形：将指数形式的极限转化为分式形式，简化计算。
- 识别不定式类型：判断极限形式为$\frac{0}{0}$型，选择适用的方法（洛必达法则或变量替换）。
- 应用关键定理：通过求导或泰勒展开求解极限。
破题关键点：
- 正确变形：利用$\ln a^b = b \ln a$将原式改写为分式。
- 灵活选择方法：根据个人熟练程度选择洛必达法则或等价无穷小替换。
步骤1：对数恒等变形
原式为$\lim_{x \to 1} \ln x^{\frac{1}{x-1}}$，根据对数性质$\ln a^b = b \ln a$，可变形为：
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}.$
步骤2：识别不定式类型
当$x \to 1$时，$\ln x \to 0$，$x-1 \to 0$，因此极限形式为$\frac{0}{0}$型。
步骤3：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：
- 分子导数：$\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$
- 分母导数：$\frac{d}{dx} (x-1) = 1$
因此，极限变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{1} = 1.$
步骤4（替代方法）：变量替换与泰勒展开
令$y = x - 1$，则当$x \to 1$时，$y \to 0$，原式可转化为：
$\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y}.$
根据泰勒展开$\ln(1+y) \approx y - \frac{y^2}{2} + \cdots$，当$y \to 0$时，$\ln(1+y) \approx y$，因此：
$\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = 1.$