设总体 X 的概率密度为 f(x; theta)= } (5-2theta)x, & 0 leq x A. 2.5B. 2.1C. 1.7D. 1.9

本题考查最大似然估计的知识点。解题思路是先根据总体的概率密度函数和样本观察值写出似然然函数，然后对似然函数取对数得到对数似然对数函数，接着对似然对数函数求导并令导数为 0，解出参数 $\theta$ 的值，最后根据参数的取值范围确定最大似然估计值。

1. 写出似然函数：
   已知总体 $X$ 的概率密度为 $f(x; \theta)= \begin{cases} (5 - 2\theta)x, & 0 \leq x < 1 \\ \theta - x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，样本观察值为 $0.2, 0.5, 0.8, 1.7, 1.7, 1.7$。
   根据似然函数的定义，似然函数 $L(\theta)$ 是样本的联合概率密度函数，即 $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i;\theta)$。
   对于 $x_1 = 0.2$，$x_2 = 0.5$，$x_3 = 0.8$，因为 $0\leq x<1$，所以 $f(0.2;\theta)=(5 - 2\theta)\times0.2$，$f(0.5;\theta)=(5 - 2\theta)\times0.5$，$f(0.8;\theta)=(5 - 2\theta)\times0.8$；$
   对于 $x_4 = 1.7$，$x_5 = 1.7$，$x_6 = 1.7$，因为 $1\leq x\leq2$，所以 $f(1.7;\theta)=\theta - 1.7$。
   则似然函数 $L(\theta)$ 为：
   $\begin{align*}L(\theta)&=f(0.2;\theta)\cdot f(0.5;\theta)\cdot f(0.8;\theta)\cdot f(1.7;\theta)\cdot f\cdot f(1.7;\theta)\cdot f(1.7;\theta)\\&=[(5 - 2\theta)\cdot0.2]\cdot[(5 - 2\theta)\cdot0.5]\cdot[(5 - 2\theta)\cdot0.8]\cdot(\theta - 1.7)^3\\&=0.08\cdot(5 - 2\theta)^3\cdot(\theta - 1.7)^3\end{align*}$
2. 取对数似然函数并求导：
   对似然函数 $L(theta)取自然对数，得到对数似然函数 $\ell(\theta)=\ln L(\theta)$：
   $\begin{align*}\ell(\theta)&=\ln(0.08\cdot(5 - 2\theta)^3\cdot(\theta - 1.7)^3)\\&=\ln0.08 + 3\ln(5 - 2\theta)+3\ln(\theta - 1.7)\end{align*}$
   对 $\ell(\theta)$ 求关于 $\theta$ 的导数：
   根据求导公式 $(\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}$，可得
   $\begin{align*}\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(\ln0.08 + 3\ln(5 - 2\theta)+3\ln(\theta - 1.7))\\&=0+3\times\frac{-2}{5 - 2\theta}+3\times\frac{1}{\theta - 1.7}\\&=\frac{-6}{5 - 2\theta}+\frac{3}{\theta - 1.7}\end{align*}$
3. 求解参数 $\theta$：
   令 $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即 $\frac{-6}{5 - 2\theta}+\frac{3}{\theta - 1.7}=0$。
   方程两边同时乘以 $(5 - 2\theta)(\theta - 1.7)$ 去分母得：
   $\begin{align*}-6(\theta - 1.7)+3(5 - 2\theta)&=0\\-6\theta+10.2 + 15 - 6\theta&=0\\-12\theta+25.2&=0\\12\theta&=25.2\\\theta&=2.1\end{align*}$
4. 确定参数 $\theta$ 的取值范围：
   要使概率密度函数 $f(x;\theta)$ 有意义，则在 $0\leq x<1$ 时，$f(x;\theta)=(5 - 2\theta)x\geq0$，因为 $x\geq0$，所以 $5 - 2\theta\geq0$，即 $\theta\leq2.5$；
   在 $1\leq x\leq2$ ，$f(x;\theta)=\theta - x\geq0$，因为 $x\leq2$，所以 $\theta\geq2$。
   所以参数 $\theta$ 的取值范围是 $2\leq\theta<2.5$，而 $\theta = 2.1$ 在此范围内，所以 $\theta$ 的最大似然估计值为 $2.1$。