题目
若向量组 alpha=(1,1,2)，beta=(1,1,-1)，gamma=(k,2,1) 线性相关，则 k= _____.
若向量组 $\alpha=(1,1,2)$，$\beta=(1,1,-1)$，$\gamma=(k,2,1)$ 线性相关，则 $k=$ _____.
题目解答
答案
向量组 $\alpha = (1, 1, 2)$，$\beta = (1, 1, -1)$，$\gamma = (k, 2, 1)$ 线性相关，当且仅当由这些向量构成的矩阵的行列式为零。构成的矩阵为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & k \\
1 & 1 & 2 \\
2 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
计算行列式：
\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & k \\
1 & 1 & 2 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{vmatrix}
\]
计算二阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 3
\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = -3
\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 = -3
\]
代入得：
\[
\det(A) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot (-3) + k \cdot (-3) = 3 + 3 - 3k = 6 - 3k
\]
令行列式等于零：
\[
6 - 3k = 0 \implies k = 2
\]
因此，$k$ 的值为 $\boxed{2}$。