3. 判断题微分方程 x^3(y' - x) = y^3 是可以分离变量的。A. 对B. 错

本题考查可分离变量的微分方程的判断。解题思路是先明确可分离变量的微分方程的定义，即能将方程化为$g(y)dy = f(x)dx$的形式，然后对给定的微分方程进行变形，看是否能化为该形式。

1. 首先对给定的微分方程$x^3(y' - x) = y^3$进行化简：
   • 已知$y'=\frac{dy}{dx}$，原方程$x^3(y' - x) = y^3$可化为$x^3(\frac{dy}{dx}-x)=y^3$。
   • 展开括号得$x^3\frac{dy}{dx}-x^4 = y^3$。
   • 移项可得$x^3\frac{dy}{dx}=y^3 + x^4$。
   • 进一步变形为$\frac{dy}{dx}=\frac{y^3 + x^4}{x^3}$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{y^3}{x^3}+x$。
2. 然后判断是否能化为$g(y)dy = f(x)dx$的形式：
   • 由$\frac{dy}{dx}=\frac{y^3}{x^3}+x$，无法将其变形为$g(y)dy = f(x)dx$的形式，因为等式右边是两项相加，不能把$x$和$\frac{y^3}{x^3}$分别与$x$和$y$的微分对应起来。