下表包含了8个学生的ACT分数和GPA(平均成绩)。平均成绩以四分制计算,且保留一位小数。 (1)利用OLS估计GPA和ACT的关系;也就是说,求出如下方程中的截距和斜率估计值 评价这个关系的方向。这里的截距有没有一个有用的解释?请说明。如果ACT分数提高5分,预期GPA会提高多少? (2)计算每次观测的拟合值和残差,并验证残差和(近似)为零。 (3)当ACT=20时,GPA的预测[1]值为多少? (4)对这8个学生来说,GPA的波动中,有多少能由ACT解释?试说明。

步骤 1：计算变量的均值
首先，我们需要计算ACT和GPA的均值。根据题目给出的数据，我们有：
- ACT的均值为：\( \bar{X} = 25.875 \)
- GPA的均值为：\( \bar{Y} = 3.2125 \)

步骤 2：计算斜率和截距
根据OLS估计量的公式，我们可以计算出斜率和截距：
- 斜率 \( \beta_1 \) 的计算公式为：\( \beta_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} \)
- 截距 \( \beta_0 \) 的计算公式为：\( \beta_0 = \bar{Y} - \beta_1 \bar{X} \)

根据题目给出的数据，我们有：
- \( \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 5.8125 \)
- \( \sum (X_i - \bar{X})^2 = 56.875 \)

因此，斜率 \( \beta_1 \) 为：
\[ \beta_1 = \frac{5.8125}{56.875} = 0.1022 \]

截距 \( \beta_0 \) 为：
\[ \beta_0 = 3.2125 - 0.1022 \times 25.875 = 0.5681 \]

步骤 3：计算拟合值和残差
根据斜率和截距，我们可以计算出每次观测的拟合值和残差。拟合值 \( \hat{Y} \) 的计算公式为：
\[ \hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X \]

残差 \( e \) 的计算公式为：
\[ e = Y - \hat{Y} \]

根据题目给出的数据，我们有：
- 当ACT=20时，GPA的预测值为：
\[ \hat{Y} = 0.5681 + 0.1022 \times 20 = 2.6121 \]

步骤 4：计算残差和
根据题目给出的数据，我们有：
- 残差和为：\( \sum e = -0.0002 \)

忽略固有的舍入误差，残差和近似为零。

步骤 5：计算判定系数
根据题目给出的数据，我们有：
- 残差平方和为：\( SSR = 0.4347 \)
- 总平方和为：\( SST = 1.0288 \)

判定系数 \( R^2 \) 的计算公式为：
\[ R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} \]

因此，判定系数 \( R^2 \) 为：
\[ R^2 = 1 - \frac{0.4347}{1.0288} \approx 0.577 \]