题目

100个灯泡的寿命A1,A2,A3,······△,999,A100独立同分布，且A1,A2,A3,······△,999,A100A1,A2,A3,······△,999,A100，则100个灯泡的平均寿命A1,A2,A3,······△,999,A100的期望A1,A2,A3,······△,999,A100.A.A1,A2,A3,······△,999,A100B.bC.A1,A2,A3,······△,999,A100D.A1,A2,A3,······△,999,A100

100个灯泡的寿命 $X_1,X_2,X_3,\dots\dots,X_{99},X_{100}$ 独立同分布，且 $E(X_i)=b$ $(i=1,2,3,\dots\dots,100)$ ，则100个灯泡的平均寿命 $Y=\frac{1}{100}(X_1+X_2+X_3+\dots+X_{100})$ 的期望 $E(Y)=\left(\ \ \ \right)$ .

A. $100b$

B.b

C. $0.01b$

D. $0.04b$

题目解答

答案

100个灯泡的寿命 $X_1,X_2,X_3,\dots\dots,X_{99},X_{100}$ 独立同分布，且 $E(X_i)=b$ $(i=1,2,3,\dots\dots,100)$ ，则100个灯泡的平均寿命的期望为 $E\left(Y\right)=E\left[\frac{1}{100}(X_1+X_2+X_3+\dots+X_{100})\right]$ $=\frac{1}{100}E\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\right)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}E\left(X_i\right)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}b=b$ ，因此选择B。

解析

考查要点：本题主要考查期望的线性性质，即多个随机变量线性组合的期望等于各随机变量期望的线性组合。关键在于理解独立同分布条件下，如何计算平均值的期望。

解题核心思路：

线性性质的应用：无论随机变量是否独立，期望的线性性质均成立，即 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
同分布的简化：所有随机变量的期望相同，求和时可直接乘以数量简化计算。

破题关键点：

明确平均值的定义：$Y = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i$。
逐层展开期望：利用线性性质将期望作用到求和式，再结合同分布特性计算总和。

步骤1：写出平均值的期望表达式
根据题意，平均寿命为：
$Y = \frac{1}{100}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{100})$
因此，期望为：
$E(Y) = E\left( \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i \right)$

步骤2：应用期望的线性性质
期望的线性性质允许我们将常数系数提到求和符号外：
$E(Y) = \frac{1}{100} E\left( \sum_{i=1}^{100} X_i \right)$

步骤3：拆分求和式为单个期望之和
进一步拆分求和式：
$E(Y) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} E(X_i)$

步骤4：利用同分布特性计算总和
由于每个 $X_i$ 的期望均为 $b$，总和为：
$\sum_{i=1}^{100} E(X_i) = \sum_{i=1}^{100} b = 100b$

步骤5：最终计算平均期望
代入总和结果：
$E(Y) = \frac{1}{100} \times 100b = b$