题目
强化149 设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则Y=|X|的概率密度为____
强化149 设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则Y=|X|的概率密度为____
题目解答
答案
为了找到随机变量 $ Y = |X| $ 的概率密度函数，其中 $ X $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $，我们需要遵循以下步骤：
1. **确定 $ Y $ 的累积分布函数（CDF）：**
$ Y $ 的CDF，记为 $ F_Y(y) $，定义为 $ P(Y \leq y) $。由于 $ Y = |X| $，我们有：
\[
F_Y(y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y)
\]
对于 $ y < 0 $，$ P(|X| \leq y) = 0 $，因此 $ F_Y(y) = 0 $。对于 $ y \geq 0 $，我们可以使用标准正态分布 $ X $ 的CDF，记为 $ \Phi(x) $：
\[
F_Y(y) = \Phi(y) - \Phi(-y)
\]
由于标准正态分布关于0对称，我们有 $ \Phi(-y) = 1 - \Phi(y) $。因此：
\[
F_Y(y) = \Phi(y) - (1 - \Phi(y)) = 2\Phi(y) - 1
\]
所以，$ Y $ 的CDF为：
\[
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{如果 } y < 0 \\
2\Phi(y) - 1 & \text{如果 } y \geq 0
\end{cases}
\]
2. **找到 $ Y $ 的概率密度函数（PDF）：**
$ Y $ 的PDF，记为 $ f_Y(y) $，是 $ F_Y(y) $ 的导数。对于 $ y < 0 $，$ F_Y(y) = 0 $，因此 $ f_Y(y) = 0 $。对于 $ y \geq 0 $，我们有：
\[
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (2\Phi(y) - 1) = 2 \frac{d}{dy} \Phi(y) = 2 \phi(y)
\]
其中 $ \phi(y) $ 是标准正态分布的PDF：
\[
\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}
\]
因此：
\[
f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2}
\]
所以，$ Y $ 的PDF为：
\[
f_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{如果 } y < 0 \\
\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2} & \text{如果 } y \geq 0
\end{cases}
\]
最终答案是：
\[
\boxed{\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2} \text{ 对于 } y \geq 0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，特别是当函数为绝对值形式时的处理方式。需要掌握累积分布函数（CDF）法，并理解标准正态分布的对称性。
解题核心思路：
- 确定Y的累积分布函数：通过分析Y=|X|的取值范围，结合X的分布特性，写出Y的CDF表达式。
- 对称性简化：利用标准正态分布的对称性，将双侧概率转化为单侧概率的表达式。
- 求导得到PDF：对CDF求导，结合标准正态分布的PDF形式，最终得到Y的PDF。
破题关键点：
- Y的取值范围：Y≥0，因此当y<0时，PDF为0。
- 绝对值的概率表达：P(|X|≤y)=P(-y≤X≤y)，并利用标准正态分布的对称性简化计算。
- 导数运算：正确对CDF求导，注意系数的处理。
步骤1：求Y的累积分布函数（CDF）
- 当y<0时，Y=|X|不可能小于0，因此：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = 0$ - 当y≥0时，Y≤y等价于X∈[-y, y]，因此：
$F_Y(y) = P(-y \leq X \leq y) = \Phi(y) - \Phi(-y)$
其中$\Phi(x)$是标准正态分布的CDF。利用对称性$\Phi(-y) = 1 - \Phi(y)$，可得：
$F_Y(y) = \Phi(y) - (1 - \Phi(y)) = 2\Phi(y) - 1$
步骤2：求导得到概率密度函数（PDF）
- 当y<0时，$f_Y(y) = 0$。
- 当y≥0时，对$F_Y(y) = 2\Phi(y) - 1$求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} [2\Phi(y) - 1] = 2\phi(y)$
其中$\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}$是标准正态分布的PDF。因此：
$f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2}$