题目
6.判断题(2分)设X_(1),X_(2),...,X_(n),...是独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为λ(λ>0)的指数分布，则当n充分大时，sum_(i=1)^nX_(i)近似服从正态分布N(nλ,nλ^2). ( )A. 错B. 对
6.判断题(2分)
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$是独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为λ(λ>0)的指数分布，则当n充分大时，$\sum_{i=1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(nλ,nλ^{2})$. ( )
A. 错
B. 对
题目解答
答案
A. 错
解析
步骤 1：指数分布的均值和方差
参数为$\lambda$的指数分布的随机变量$X$的均值$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，方差$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。
步骤 2：独立同分布随机变量之和的均值和方差
对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，其和$S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$的均值$E(S_n) = nE(X) = n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{n}{\lambda}$，方差$\text{Var}(S_n) = n\text{Var}(X) = n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{n}{\lambda^2}$。
步骤 3：中心极限定理的应用
根据中心极限定理，当$n$充分大时，$S_n$的分布近似服从正态分布$N\left(\frac{n}{\lambda}, \frac{n}{\lambda^2}\right)$。
步骤 4：与题目中给出的分布比较
题目中给出的分布是$N(n\lambda, n\lambda^2)$，而根据中心极限定理，正确的分布是$N\left(\frac{n}{\lambda}, \frac{n}{\lambda^2}\right)$。因此，题目中的陈述是错误的。
参数为$\lambda$的指数分布的随机变量$X$的均值$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，方差$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。
步骤 2：独立同分布随机变量之和的均值和方差
对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，其和$S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$的均值$E(S_n) = nE(X) = n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{n}{\lambda}$，方差$\text{Var}(S_n) = n\text{Var}(X) = n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{n}{\lambda^2}$。
步骤 3：中心极限定理的应用
根据中心极限定理，当$n$充分大时，$S_n$的分布近似服从正态分布$N\left(\frac{n}{\lambda}, \frac{n}{\lambda^2}\right)$。
步骤 4：与题目中给出的分布比较
题目中给出的分布是$N(n\lambda, n\lambda^2)$，而根据中心极限定理，正确的分布是$N\left(\frac{n}{\lambda}, \frac{n}{\lambda^2}\right)$。因此，题目中的陈述是错误的。