题目

25. (4.0分) 设随机变量X服从泊松分布P(λ)，且已知P(X=1)=P(X=2)，则λ=____。

题目解答

答案

根据泊松分布的概率质量函数 $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $，已知 $ P(X=1) = P(X=2) $，可得： \[ \frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} \] 两边同时消去 $ e^{-\lambda} $（$ e^{-\lambda} \neq 0 $），得到： \[ \lambda = \frac{\lambda^2}{2} \] 整理得： \[ 2\lambda = \lambda^2 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0 \] 解得 $ \lambda = 0 $ 或 $ \lambda = 2 $。由于 $ \lambda > 0 $（泊松分布参数），故 $ \lambda = 2 $。答案：$ \lambda = 2 $。

解析

本题考查泊松分布的概率质量函数以及方程求解的知识点。解题思路是先根据泊松分布的概率质量函数写出$P(X = 1)$和$P(X = 2)$的表达式，再利用已知条件$P(X = 1)=P(X = 2)$建立方程，最后求解方程并根据泊松分布参数的取值范围确定$\lambda$的值。

步骤一：写出$P(X = 1)$和$P(X = 2)$的表达式
已知随机变量$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$。
当$k = 1$时，$P(X = 1)=\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!}=\lambda e^{-\lambda}$；
当$k = 2$时，$P(X = 2)=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$。
步骤二：根据已知条件建立方程
因为$P(X = 1)=P(X = 2)$，所以$\lambda e^{-\lambda}=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$。
步骤三：求解方程
由于$e^{-\lambda}\neq 0$，方程两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^2}{2}$。
移项可得$\lambda^2 - 2\lambda = 0$，提取公因式$\lambda$得到$\lambda(\lambda - 2)=0$。
根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，所以$\lambda = 0$或$\lambda - 2 = 0$，即$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。
步骤四：根据泊松分布参数的取值范围确定$\lambda$的值
对于泊松分布$P(\lambda)$，参数$\lambda\gt 0$，所以$\lambda = 0$不符合要求，舍去。
因此，$\lambda = 2$。