题目
已知随机变量X~N(72,σ²)，P(X>96)=0.023则P(60<84)为[填空1](参考数据：Φ(1)=0.841,Φ(2)=0.977)
已知随机变量X~N(72,σ²)，P{X>96}=0.023
则P{60<84}为[填空1]
(参考数据：Φ(1)=0.841,Φ(2)=0.977)
题目解答
答案
已知 $X \sim N(72, \sigma^2)$，且 $P(X > 96) = 0.023$。
首先，利用正态分布的对称性，$P(X < 48) = P(X > 96) = 0.023$。
计算 $P(48 < X < 96) = 1 - 2 \times 0.023 = 0.954$，对应标准正态分布中 $P(-2 < Z < 2) = 0.954$，其中 $Z = \frac{X - 72}{\sigma}$。
由此得 $\sigma = 12$。
然后，求 $P(60 < X < 84)$：
$P(60 < X < 84) = P\left(\frac{60 - 72}{12} < Z < \frac{84 - 72}{12}\right) = P(-1 < Z < 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.841 - 1 = 0.682$
答案： $\boxed{0.682}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、对称性应用以及标准正态分布函数Φ的使用。
解题核心思路：
- 确定标准差σ：利用已知条件$P(X > 96) = 0.023$，结合标准正态分布的对称性，找到对应的Z值，进而求出σ。
- 计算目标概率：将区间$60 < X < 84$标准化为Z值范围，利用给定的Φ值计算概率。
破题关键点：
- 标准化转换：将X的取值转化为标准正态变量Z。
- 对称性应用：通过已知概率确定Z值，建立方程求σ。
- Φ函数的灵活使用：根据Z值范围拆分概率，结合Φ值快速计算。
步骤1：求标准差σ
- 标准化处理：
$P(X > 96) = P\left(Z > \frac{96 - 72}{\sigma}\right) = P(Z > \frac{24}{\sigma})$
根据参考数据，当$Z = 2$时，$P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.977 = 0.023$，因此$\frac{24}{\sigma} = 2$，解得$\sigma = 12$。
步骤2：计算$P(60 < X < 84)$
- 标准化区间：
$P(60 < X < 84) = P\left(\frac{60 - 72}{12} < Z < \frac{84 - 72}{12}\right) = P(-1 < Z < 1)$ - 利用Φ函数计算：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$
代入$\Phi(1) = 0.841$，得$2 \times 0.841 - 1 = 0.682$。