对任意的常数 a, b 和随机变量 X，有 D(aX + b) = aD(X). ()A. 对B. 错

本题考查随机变量方差的性质。解题思路是根据方差的定义和性质来推导$D(aX + b)$的表达式，然后与$aD(X)$进行比较。

设随机变量$X$的期望为$E(X)$，根据方差的定义$D(Y)=E[(Y - E(Y))^2]$，对于随机变量$Y = aX + b$，我们先求$E(Y)$：

• 步骤一：求$E(aX + b)$
  根据期望的线性性质$E(cX + d)=cE(X)+d$（其中$c$、$d$为常数），可得$E(aX + b)=aE(X)+b$。
• 步骤二：求$D(aX + b)$
  根据方差定义$D(aX + b)=E\{[(aX + b)-E(aX + b)]^2\}$，将$E(aX + b)=aE(X)+b$代入可得：
  $D(aX + b)=E\{[(aX + b)-(aE(X)+b)]^2\}$
  对中括号内的式子进行化简：
  $(aX + b)-(aE(X)+b)=aX + b - aE(X) - b=a(X - E(X))$
  则$D(aX + b)=E\{[a(X - E(X))]^2\}$
  根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得$[a(X - E(X))]^2=a^2(X - E(X))^2$，所以$D(aX + b)=E[a^2(X - E(X))^2]$。
  再根据期望的性质$E(cY)=cE(Y)$（其中$c$为常数，$Y$为随机变量），可得$D(aX + b)=a^2E[(X - E(X))^2]$。
  而$E[(X - E(X))^2]=D(X)$，所以$D(aX + b)=a^2D(X)$。
  因为$a^2D(X)\neq aD(X)$（一般情况下$a\neq0$且$a\neq1$时），所以“对任意的常数$a, b$和随机变量$X$，有$D(aX + b) = aD(X)$”这一说法是错误的。