题目

设总体 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n 是 X 的一个样本，样本均值 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，样本方差 S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，则服从 t(n-1) 分布的是（ ）。(A) sum_(i=1)^n [ (X_i - mu)/(sigma) ]^2(B) (overline(X) - mu)/(S/sqrt(n))(C) sum_(i=1)^n [ (X_i - overline(X))/(sigma) ]^2(D) (overline(X) - mu)/(sigma/sqrt(n))

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是 $X$ 的一个样本，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，则服从 $t(n-1)$ 分布的是（ ）。 (A) $\sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right]^2$ (B) $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ (C) $\sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right]^2$ (D) $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

题目解答

答案

我们来逐项分析这个题目。

题目给出：

  • 总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即总体服从正态分布；
  • $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自该总体的一个样本；
  • 样本均值：
    $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
  • 样本方差：
    $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
  • 问哪一个选项服从自由度为 $ n-1 $ 的 $ t $ 分布，即 $ t(n-1) $。

我们回顾一下 t 分布的定义：

如果总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，那么当总体方差 $ \sigma^2 $ 未知时，我们用样本标准差 $ S $ 来代替，此时统计量：

$T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$

服从自由度为 $ n-1 $ 的 t 分布，即 $ T \sim t(n-1) $。

这是数理统计中的一个基本结论。

我们逐个分析选项：

(A) $ \sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right]^2 $

分析：

  • $ \frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $，独立同分布；
  • 所以平方和 $ \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n) $，即自由度为 $ n $ 的卡方分布；
  • 不是 t 分布。

所以 (A) 错误。

(B) $ \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} $

这正是我们上面提到的 t 统计量的标准形式！

  • $ \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) $，所以 $ \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) $；
  • $ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) $；
  • 且 $ \overline{X} $ 与 $ S^2 $ 相互独立（正态分布的性质）；
  • 所以根据 t 分布的构造：
    $T = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_{(df)} / df}} \Rightarrow \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{S^2 / \sigma^2}} = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$

所以 (B) 正确。

(C) $ \sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right]^2 $

分析：

  • $ \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $ 是样本离差平方和；
  • 所以 $ \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum (X_i - \overline{X})^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} $
  • 而我们知道：$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) $
  • 所以这个统计量服从卡方分布 $ \chi^2(n-1) $，不是 t 分布。

所以 (C) 错误。

(D) $ \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $

分析：

  • 这是标准化的样本均值，当总体方差已知时使用的统计量；
  • 它服从标准正态分布 $ N(0,1) $；
  • 虽然标准正态分布和 t 分布在形式上相似，但 t 分布是厚尾的，而这是正态分布；
  • 特别地，当 $ n \to \infty $，$ t(n-1) \to N(0,1) $，但有限样本下不是 t 分布。

所以 (D) 服从标准正态分布，不是 $ t(n-1) $。

故 (D) 错误。

结论：

唯一服从 $ t(n-1) $ 分布的是选项 (B)。

答案： $ \boxed{\text{(B)}} $

解析

本题考查正态总体下样本统计量的分布，特别是 $t$ 分布的定义和性质。解题的关键在于熟悉正态分布、卡方分布和 $t$ 分布的构造形式，并能准确判断每个选项所服从的分布。

  1. 分析选项 (A)
    • 已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，且 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立。
    • 根据卡方分布的定义，若 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$。
    • 在这里，令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，所以 $\sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right]^2 \sim \chi^2(n)$，它服从自由度为 $n$ 的卡方分布，并非 $t$ 分布，故选项 (A) 错误。
  2. 分析选项 (B)
    • 首先，因为总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以样本均值 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，将其标准化可得 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
    • 其次，根据正态总体的性质，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，其中 $S^2$ 是样本方差。
    • 又因为在正态总体中，$\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。
    • 根据 $t$ 分布的定义，若 $Z \sim N(0,1)$，$\chi^2 \sim \chi^2(df)$，且 $Z$ 与 $\chi^2$ 相互独立，则 $T = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2 / df}} \sim t(df)$。
    • 在这里，$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，$\chi^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，自由度 $df = n - 1$，则：
      $\begin{align*}\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}&=\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2(n - 1)}}}\\&=\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{S^2 / \sigma^2}} \sim t(n - 1)\end{align*}$
    • 所以选项 (B) 服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布，选项 (B) 正确。
  3. 分析选项 (C)
    • 已知样本离差平方和 $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，则 $\sum_{i=1}^n \left[ \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right]^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。
    • 又因为 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，所以 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$。
    • 由正态总体的性质可知，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，它服从自由度为 $n - 1$ 的卡方分布，并非 $t$ 分布，故选项 (C) 错误。
  4. 分析选项 (D)
    • 因为 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，将其标准化得到 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$，它服从标准正态分布，并非 $t(n - 1)$ 分布，故选项 (D) 错误。