题目

若随机变量X与Y满足Y=1-X/2,且D(X)=2,则Cov(X,Y)= 请问为什么

题目解答

答案

CoV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
将Y=1-X/2代入上式,有
CoV(X,Y)=E(X-X²/2)-E(X)E(1-X/2)=[E(X)-E(X²/2)]-E(X)(1-½E(X))=E(X)-½E(X²)-E(X)+½E(X)²
=½[E(X)²-E(X²)]=-½D(X)=-1
主要是公式E(X+Y)=E(X)+E(Y)以及D(X)=E(X²)-E(X)²的运用……

解析

步骤 1：定义协方差
协方差Cov(X,Y)定义为：Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的期望值。
步骤 2：代入Y的表达式
根据题目条件，Y = 1 - X/2，代入协方差的定义式中，得到Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(1 - X/2 - E[Y])]。
步骤 3：化简协方差表达式
由于E[Y] = E[1 - X/2] = 1 - E[X]/2，代入上式，得到Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(1 - X/2 - 1 + E[X]/2)] = E[(X - E[X])(-X/2 + E[X]/2)]。
步骤 4：进一步化简
Cov(X,Y) = E[-X^2/2 + XE[X]/2 + XE[X]/2 - E[X]^2/2] = E[-X^2/2 + XE[X] - E[X]^2/2]。
步骤 5：利用期望的性质
Cov(X,Y) = -E[X^2]/2 + E[X]E[X] - E[X]^2/2 = -E[X^2]/2 + E[X]^2 - E[X]^2/2 = -E[X^2]/2 + E[X]^2/2。
步骤 6：利用方差的定义
D(X) = E[X^2] - E[X]^2，所以E[X^2] = D(X) + E[X]^2。代入上式，得到Cov(X,Y) = -(D(X) + E[X]^2)/2 + E[X]^2/2 = -D(X)/2。
步骤 7：代入D(X)的值
根据题目条件，D(X) = 2，代入上式，得到Cov(X,Y) = -2/2 = -1。