题目
一、单选题（共20题，100.0分）13.（单选题，5.0分）设A,B为n阶方阵，A≠0且AB=0，则（）。A B=0B |B|=0或|A|=0C BA=0D (A-B)²=A²-B²
一、单选题（共20题，100.0分）
13.（单选题，5.0分）
设A,B为n阶方阵，A≠0且AB=0，则（）。
A B=0
B |B|=0或|A|=0
C BA=0
D (A-B)²=A²-B²
题目解答
答案
由题意，A和B均为n阶方阵，且A≠0，AB=0。根据行列式的性质，|AB|=|A||B|。由于AB=0，故|AB|=0，即|A||B|=0。又因为A≠0，所以|A|≠0（否则A为零矩阵，与题意矛盾）。因此，必有|B|=0。
选项分析：
- A项：B=0。此结论不成立，因为AB=0时，B可能非零（如A为可逆矩阵时，B必为零，但题目未说明A可逆）。
- B项：|B|=0或|A|=0。由上述分析，|A|≠0，故|B|=0，符合题意。
- C项：BA=0。AB=0不一定推出BA=0，矩阵乘法不满足交换律。
- D项：(A-B)²=A²-B²。展开得(A-B)²=A²-AB-BA+B²，仅当AB=BA=0时成立，但题目未给出BA=0，故不成立。
综上，正确答案为B。
答案：B. |B|=0或|A|=0（实际上|A|≠0，故|B|=0）。
解析
本题考查方阵乘法、行列式性质以及矩阵运算规则。解题思路如下：
- 首先根据方阵乘法性质，由$AB = 0$推出$\vert AB\vert = 0$。
- 然后依据行列式性质$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，得到$\vert A\vert\vert B\vert = 0$。
- 接着结合已知条件$A\neq 0$，可知$\vert A\vert\neq 0$（若$\vert A\vert = 0$，则$A$为零矩阵，与$A\neq 0$矛盾）。
- 最后根据$\vert A\vert\neq 0$和$\vert A\vert\vert B\vert = 0$，得出$\vert B\vert = 0$。
- 对于各选项分析：
- 选项A：仅由$AB = 0$不能得出$B = 0$，因为当$A$可逆时，$B$必为零，但题目未说明$A$可逆，所以该选项错误。
- 选项B：由前面推理可知$\vert B\vert = 0$，符合题意，该选项正确。
- 选项C：矩阵乘法不满足交换律，$AB = 0$不能推出$BA = 0$，所以该选项错误。
- 选项D：根据完全平方公式$(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$，仅当$AB = BA = 0$时$(A - B)^2 = A^2 - B^2$成立，但题目未给出$BA = 0$，所以该选项错误。