设随机变量X,Y的协方差为0，则X,Y之间关系为()A. 互不相容B. 无法确定C. 相互独立D. 不相关

本题考查随机变量协方差与相关性、独立性、互不相容性之间的关系。解题思路是根据协方差的定义和性质，以及随机变量不相关、相互独立、互不相容的概念来逐一分析每个选项。

1. 明确相关概念

• 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差定义为：$\text{Cov}(X,Y)=E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$。
• 若 $\text{Cov}(X,Y) = 0$，则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关。
• 随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立是指对于任意的实数 $x$ 和 $y$，都有 $P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$。
• 随机变量 $X$ 和 $Y$ 互不相容是指 $P(XY = 0)=1$，即 $X$ 和 $Y$ 不可能同时取非零值。

2. 分析选项A

互不相容强调的是两个事件不能同时发生，与协方差为 $0$ 没有直接的逻辑联系。例如，设 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$，$X$ 和 $Y$ 显然不是互不相容的，但可以通过计算协方差来判断它们的相关性。
$E(X)=\int_{-1}^{1}x\cdot\frac{1}{2}dx = 0$
$E(XY)=E(X^3)=\int_{-1}^{1}x^3\cdot\frac{1}{2}dx = 0$
$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 - 0\times E(Y)=0$
所以仅知道协方差为 $0$ 不能得出 $X$ 和 $Y$ 互不相容，选项A错误。

3. 分析选项B

根据协方差的定义，当 $\text{Cov}(X,Y) = 0$ 时，我们可以明确得出 $X$ 和 $Y$ 不相关，所以不是无法确定，选项B错误。

4. 分析选项C

相互独立是一个比不相关更强的条件。一般情况下，由 $X$ 和 $Y$ 相互独立可以推出 $\text{Cov}(X,Y) = 0$，但反之不成立。例如，设 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$，前面已经计算出 $\text{Cov}(X,Y) = 0$，但 $Y$ 的取值完全由 $X$ 决定，它们不是相互独立的。所以仅知道协方差为 $0$ 不能得出 $X$ 和 $Y$ 相互独立，选项C错误。

5. 分析选项D

根据不相关的定义，若 $\text{Cov}(X,Y) = 0$，则 $X$ 和 $Y$ 不相关，选项D正确。