题目
设在一电路中,电阻两端的电压(伏)服从N(120,2^2),今独立测量了5-|||-次,试确定有2次测定值落在区间[118,122]之外的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定单次测量落在区间[118,122]内的概率
由于电压服从正态分布N(120,2^2)，即均值为120，方差为4，标准差为2。我们需要计算电压落在[118,122]内的概率，即P(118 ≤ X ≤ 122)。这可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来完成。
步骤 2：计算标准正态分布的累积分布函数
将区间[118,122]转换为标准正态分布的区间，即计算Z值。Z值的计算公式为Z = (X - μ) / σ，其中μ是均值，σ是标准差。对于X = 118，Z = (118 - 120) / 2 = -1；对于X = 122，Z = (122 - 120) / 2 = 1。因此，我们需要计算P(-1 ≤ Z ≤ 1)。
步骤 3：计算P(-1 ≤ Z ≤ 1)
根据标准正态分布表，P(Z ≤ 1) ≈ 0.8413，P(Z ≤ -1) ≈ 0.1587。因此，P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。这意味着单次测量落在[118,122]内的概率为0.6826，落在区间之外的概率为1 - 0.6826 = 0.3174。
步骤 4：计算有2次测定值落在区间[118,122]之外的概率
由于5次测量是独立的，可以将问题视为二项分布问题，其中n = 5，p = 0.3174。我们需要计算有2次测定值落在区间[118,122]之外的概率，即P(Y = 2)，其中Y表示落在区间之外的次数。根据二项分布的概率公式，P(Y = 2) = C(5,2) * (0.3174)^2 * (0.6826)^3。
步骤 5：计算P(Y = 2)
P(Y = 2) = C(5,2) * (0.3174)^2 * (0.6826)^3 = 10 * (0.3174)^2 * (0.6826)^3 ≈ 0.3204。
由于电压服从正态分布N(120,2^2)，即均值为120，方差为4，标准差为2。我们需要计算电压落在[118,122]内的概率，即P(118 ≤ X ≤ 122)。这可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来完成。
步骤 2：计算标准正态分布的累积分布函数
将区间[118,122]转换为标准正态分布的区间，即计算Z值。Z值的计算公式为Z = (X - μ) / σ，其中μ是均值，σ是标准差。对于X = 118，Z = (118 - 120) / 2 = -1；对于X = 122，Z = (122 - 120) / 2 = 1。因此，我们需要计算P(-1 ≤ Z ≤ 1)。
步骤 3：计算P(-1 ≤ Z ≤ 1)
根据标准正态分布表，P(Z ≤ 1) ≈ 0.8413，P(Z ≤ -1) ≈ 0.1587。因此，P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。这意味着单次测量落在[118,122]内的概率为0.6826，落在区间之外的概率为1 - 0.6826 = 0.3174。
步骤 4：计算有2次测定值落在区间[118,122]之外的概率
由于5次测量是独立的，可以将问题视为二项分布问题，其中n = 5，p = 0.3174。我们需要计算有2次测定值落在区间[118,122]之外的概率，即P(Y = 2)，其中Y表示落在区间之外的次数。根据二项分布的概率公式，P(Y = 2) = C(5,2) * (0.3174)^2 * (0.6826)^3。
步骤 5：计算P(Y = 2)
P(Y = 2) = C(5,2) * (0.3174)^2 * (0.6826)^3 = 10 * (0.3174)^2 * (0.6826)^3 ≈ 0.3204。