设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为： Y X −1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则 X2 和 Y2 的协方差 cov(X2,Y2)=___.

考查要点：本题主要考查协方差的计算，以及如何根据原始随机变量的联合分布推导平方后的变量的联合分布。

解题核心思路：

1. 确定平方后的变量取值：根据原变量X和Y的取值范围，确定X²和Y²的可能取值。
2. 构建联合分布表：根据原始联合分布，计算X²和Y²各组合的概率。
3. 计算期望值：分别求出E(X²)、E(Y²)和E(X²Y²)。
4. 代入协方差公式：利用协方差公式 Cov(X²,Y²) = E(X²Y²) - E(X²)E(Y²) 得出结果。

破题关键点：

• 正确构建X²和Y²的联合分布表是解题的核心步骤，需注意平方后的变量取值对应的原始变量组合。
• 边缘分布的计算需准确，确保概率总和为1。

步骤1：确定X²和Y²的可能取值

• X的取值为0和1，因此X²的取值为0²=0和1²=1。
• Y的取值为-1、0、1，因此Y²的取值为0（当Y=0时）和1（当Y=-1或1时）。

步骤2：构建X²和Y²的联合分布表

根据原始联合分布，计算各组合的概率：

• X²=0（即X=0）时：
  • Y²=0（Y=0）的概率为0.18；
  • Y²=1（Y=-1或1）的概率为0.07 + 0.15 = 0.22。
• X²=1（即X=1）时：
  • Y²=0（Y=0）的概率为0.32；
  • Y²=1（Y=-1或1）的概率为0.08 + 0.20 = 0.28。

联合分布表如下：

步骤3：计算期望值

• E(X²)：$0 \times 0.40 + 1 \times 0.60 = 0.60$；
• E(Y²)：$0 \times 0.50 + 1 \times 0.50 = 0.50$；
• E(X²Y²)：仅当X²=1且Y²=1时乘积为1，对应概率为0.28，因此 $E(X²Y²) = 0.28$。

步骤4：计算协方差

$\text{Cov}(X², Y²) = E(X²Y²) - E(X²)E(Y²) = 0.28 - 0.60 \times 0.50 = -0.02$