6.下列函数在给定区间上无界的是____.A.(1)/(x)sin(1)/(x), xin(0,1]B.xsin(1)/(x), xin(0,+infty)C.(1)/(x)sin x, xin(0,1]D.(1)/(x)sin x, xin(0,+infty)

逐项分析各函数在给定区间上的有界性：

• 选项A： $f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,1]$。
  当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，而 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 内振荡。因此，$f(x)$ 的值在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界。例如，取 $x = \frac{1}{n\pi}$（$n \in \mathbb{N}^*$），则 $f(x) = n\pi \sin(n\pi) = 0$；取 $x = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，则 $f(x) = (2n\pi + \frac{\pi}{2}) \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty$。故 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上无界。

• 选项B： $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,+\infty)$。
  当 $x \to 0^+$ 时，$x \to 0$，$\sin \frac{1}{x}$ 有界，故 $f(x) \to 0$。当 $x \to +\infty$ 时，$x \to +\infty$，但 $\sin \frac{1}{x} \to 1$，故 $f(x) \to +\infty$。然而，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值为 $1$（当 $x = 1$ 时），且在 $x \to +\infty$ 时趋近于 $x$，但始终有界。实际上，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，因为 $|f(x)| \leq x$。

• 选项C： $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,1]$。
  当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，故 $f(x) \to 1$。在 $(0,1]$ 上，$f(x)$ 连续且有界，最大值为 $1$。

• 选项D： $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,+\infty)$。
  当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，最大值为 $1$。

综上，只有选项A中的函数在给定区间上无界。

答案：A