题目
二、判断题(共10题，50.0分)题型说明：判断题，每题5分，共50分20.(判断题，5.0分)广义积分int_(-infty)^0e^2xdx是收敛的（）A 对B 错
二、判断题(共10题，50.0分)
题型说明：判断题，每题5分，共50分
20.(判断题，5.0分)
广义积分$\int_{-\infty}^{0}e^{2x}dx$是收敛的（）
A 对
B 错
题目解答
答案
考虑广义积分 $\int_{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx$。根据定义，该积分可表示为：
\[
\lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{2x} \, dx
\]
先计算不定积分：
\[
\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C
\]
因此，
\[
\int_{a}^{0} e^{2x} \, dx = \left. \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{a}^{0} = \frac{1}{2} (1 - e^{2a})
\]
当 $a \to -\infty$ 时，$e^{2a} \to 0$，故
\[
\lim_{a \to -\infty} \frac{1}{2} (1 - e^{2a}) = \frac{1}{2}
\]
积分收敛，其值为 $\frac{1}{2}$。
答案：A 对
解析
本题考查广义积分的敛散性判断。解题思路是先根据广义积分的定义将其转化为极限形式，然后计算定积分，最后求极限，根据极限是否存在来判断广义积分的敛散性。
- 根据广义积分定义转化形式：
对于广义积分$\int_{-\infty}^{0}e^{2x}dx$，根据定义可表示为$\lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{2x} \, dx$。 - 计算定积分$\int_{a}^{0} e^{2x} \, dx$：
先求$e^{2x}$的不定积分，根据积分公式$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$（$k\neq0$），可得$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$。
再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$（其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数），计算$\int_{a}^{0} e^{2x} \, dx$：
$\int_{a}^{0} e^{2x} \, dx = \left. \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{a}^{0} = \frac{1}{2} e^{2\times0}-\frac{1}{2} e^{2a}=\frac{1}{2} (1 - e^{2a})$。 - 求极限$\lim_{a \to -\infty} \frac{1}{2} (1 - e^{2a})$：
当$a \to -\infty$时，$2a\to -\infty$，根据指数函数的性质，$e^{2a} \to 0$。
所以$\lim_{a \to -\infty} \frac{1}{2} (1 - e^{2a}) = \frac{1}{2} (1 - 0)=\frac{1}{2}$。
由于极限存在，所以广义积分$\int_{-\infty}^{0}e^{2x}dx$收敛。