题目
17. (4.0分) 求线性方程组 }x_(1)+x_(3)+2x_(4)=-12x_(1)+x_(2)+3x_(3)+x_(4)=-4x_(1)+2x_(2)+3x_(3)-4x_(4)=-5-x_(1)-x_(2)-2x_(3)+x_(4)=3的通解.() A k_(1)(-1,-1,1,0)^T+k_(2)(-2,-3,2,1)^T+(-1,2,0,0)^T,其中k_(1),k_(2)为任意常数 B k_(1)(-1,-1,1,0)^T+k_(2)(-2,3,0,1)^T+(-1,-2,0,0)^T,其中k_(1),k_(2)为任意常数 C k_(1)(-1,1,1,0)^T+k_(2)(-2,3,2,-1)^T+(-1,-2,0,0)^T,其中k_(1),k_(2)为任意常数 D k_(1)(-1,1,1,0)^T+k_(2)(-2,3,0,-1)^T+(-1,-2,0,0)^T,其中k_(1),k_(2)为任意常数
17. (4.0分) 求线性方程组
$\begin{cases}x_{1}+x_{3}+2x_{4}=-1\\2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+x_{4}=-4\\x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}=-5\\-x_{1}-x_{2}-2x_{3}+x_{4}=3\end{cases}$的通解.()
A $k_{1}(-1,-1,1,0)^{T}+k_{2}(-2,-3,2,1)^{T}+(-1,2,0,0)^{T},$其中$k_{1},k_{2}$为任意常数
B $k_{1}(-1,-1,1,0)^{T}+k_{2}(-2,3,0,1)^{T}+(-1,-2,0,0)^{T},$其中$k_{1},k_{2}$为任意常数
C $k_{1}(-1,1,1,0)^{T}+k_{2}(-2,3,2,-1)^{T}+(-1,-2,0,0)^{T},$其中$k_{1},k_{2}$为任意常数
D $k_{1}(-1,1,1,0)^{T}+k_{2}(-2,3,0,-1)^{T}+(-1,-2,0,0)^{T},$其中$k_{1},k_{2}$为任意常数
题目解答
答案
将方程组的增广矩阵化为行最简形：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 3 & 1 & -4 \\1 & 2 & 3 & -4 & -5 \\-1 & -1 & -2 & 1 & 3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
从行最简形中，得方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_3 + 2x_4 = -1 \\x_2 + x_3 - 3x_4 = -2\end{cases}$
设 $x_3 = k_1$，$x_4 = k_2$，则：
$\begin{cases}x_1 = -1 - k_1 - 2k_2 \\x_2 = -2 - k_1 + 3k_2\end{cases}$
通解为：
$\boxed{k_1\begin{pmatrix}-1 \\-1 \\1 \\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2 \\3 \\0 \\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 \\-2 \\0 \\0\end{pmatrix}}$
对应选项 B。
解析
本题考查线性方程组通解的求解，解题思路是先将方程组的增广矩阵化为行最简形，然后根据行最简形得到同解方程组，再通过设自由变量，求出方程组的通解，最后与选项进行对比。
- 将增广矩阵化为行最简形：
已知方程组的增广矩阵为$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 3 & 1 & -4 \\1 & 2 & 3 & -4 & -5 \\-1 & -1 & -2 & 1 & 3\end{pmatrix}$。- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，第四行加上第一行，可得：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\2 - 2\times1 & 1 - 2\times0 & 3 - 2\times1 & 1 - 2\times2 & -4 - 2\times(-1) \\1 - 1 & 2 - 0 & 3 - 1 & -4 - 2 & -5 - (-1) \\-1 + 1 & -1 + 0 & -2 + 1 & 1 + 2 & 3 + (-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 & 2 & 2 & -6 & -4 \\0 & -1 & -1 & 3 & 2\end{pmatrix}$ - 第三行减去第二行的$2$倍，第四行加上第二行，可得：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 - 2\times0 & 2 - 2\times1 & 2 - 2\times1 & -6 - 2\times(-3) & -4 - 2\times(-2) \\0 + 0 & -1 + 1 & -1 + 1 & 3 + (-3) & 2 + (-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，第四行加上第一行，可得：
- 根据行最简形得到同解方程组：
由行最简形$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，可得方程组$\begin{cases}x_1 + x_3 + 2x_4 = -1 \\x_2 + x_3 - 3x_4 = -2\end{cases}$。 - 设自由变量并求解：
设$x_3 = k_1$，$x_4 = k_2$（$k_1,k_2$为任意常数），将其代入上述方程组可得：- 由$x_1 + x_3 + 2x_4 = -1$，可得$x_1 = -1 - x_3 - 2x_4 = -1 - k_1 - 2k_2$。
- 由$x_2 + x_3 - 3x_4 = -2$，可得$x_2 = -2 - x_3 + 3x_4 = -2 - k_1 + 3k_2$。
- 写出通解：
将$x_1,x_2,x_3,x_4$用向量形式表示，可得通解为：
$\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 - k_1 - 2k_2 \\-2 - k_1 + 3k_2 \\k_1 \\k_2\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}-1 \\-1 \\1 \\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2 \\3 \\0 \\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 \\-2 \\0 \\0\end{pmatrix}$