设随机变量 X_1, X_2, ... 独立同分布，且期望和方差分别为 E(X_k)= mu，D(X_k)= sigma^2，(k=1,2,...)，则由中心极限定理 sum_(k=1)^n X_k 近似服从()。A. N(0,1)B. N(mu, sigma^2)C. N(nmu, nsigma^2)D. N(nmu, nsigma)

本题考查中心极限极限定理的应用。解题思路是根据中心极限定理的内容，对于独立同分布的随机变量序列，其和近似服从正态分布，我们需要求出该正态分布的期望期望和方差。

步骤一：明确中心极限定理

设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：$E(X_k)=\mu$，$D(X_k)=\sigma^2\neq0$ $0$，$k = 1,2,\cdots,n$，则随机变量之和 $\sum_{k = 1}^{n}X_k$ 的标准化变量
$Y_n=\frac{\sum_{k =1}^{n}X_k - E(\sum_{k =1}^{n}X_k}{\sqrt{D(\sum_{k =1}^{n}X_k)}}=\frac{\sum_{k =1}^{n}X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$
当 $n$ 充分大时，近似服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $\frac{\sum_{k =1}^{n}X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1)$。

步骤二：求 $\sum_{k =1}^{n}X_k$ ) 的期望

根据期望的性质：若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，则 $E(\sum_{k =1}^{n}X_k)=\sum_{k =1}^{n}E(X_k)$。
已知 $E(X_k)=\mu$，$k = 1,2,\cdots,n$，则 $E(\sum_{k =1}^{n}X_k)=\sum_{k =1}^{n}\mu=n\mu$。

步骤三：求 $\sum_{k =1}^{n}X_k)$ 的方差

根据方差的性质：若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ) 相互独立 $D(\sum_{k =1}^{n}X_k)=\sum_{k =1}^{n}D(X_k)$ )。
已知 $D(X_k)=\sigma^2$，$k = 1,2,\cdots,n$，则 $D(\sum_{k =1}^{n}X_k)=\sum_{k =1}^{n}\sigma^2=n\sigma^2$。

步骤四：确定 $\sum_{k =1}^{n}X_k$ 近似服从的分布

由中心极限定理可知，当 $n$ 充分大时，$\sum_{k =1}^{n}X_k$ 近似服从正态分布，且该正态分布的期望为 $n\mu$，方差为 $n\sigma^2$，即 $\sum_{k =1}^{n}X_k\sim N(n\mu, n\sigma^2)$。