题目
7.2 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）3.3 & 3.1 & 6.2 & 5.8 & 2.3 & 4.1 & 5.4 & 4.5 & 3.2 4.4 & 2.0 & 5.4 & 2.6 & 6.4 & 1.8 & 3.5 & 5.7 & 2.3 2.1 & 1.9 & 1.2 & 5.1 & 4.3 & 4.2 & 3.6 & 0.8 & 1.5 4.7 & 1.4 & 1.2 & 2.9 & 3.5 & 2.4 & 0.5 & 3.6 & 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%，95%和99%
7.2 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）
$\begin{array}{llllllllll}3.3 & 3.1 & 6.2 & 5.8 & 2.3 & 4.1 & 5.4 & 4.5 & 3.2 \\4.4 & 2.0 & 5.4 & 2.6 & 6.4 & 1.8 & 3.5 & 5.7 & 2.3 \\2.1 & 1.9 & 1.2 & 5.1 & 4.3 & 4.2 & 3.6 & 0.8 & 1.5 \\4.7 & 1.4 & 1.2 & 2.9 & 3.5 & 2.4 & 0.5 & 3.6 & 2.5\end{array}$
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%，95%和99%
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
$\overline{x} = 3.3167$
2. **计算样本标准差**：
$s = 1.6093$
3. **计算抽样标准误差**：
$\sigma_{\overline{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = 0.2682$
4. **计算置信区间**：
- **90%置信水平**：
$z_{0.05} = 1.645$，区间为 $(3.3167 \pm 1.645 \times 0.2682) \approx (2.88, 3.76)$
- **95%置信水平**：
$z_{0.025} = 1.96$，区间为 $(3.3167 \pm 1.96 \times 0.2682) \approx (2.79, 3.84)$
- **99%置信水平**：
$z_{0.005} = 2.576$，区间为 $(3.3167 \pm 2.576 \times 0.2682) \approx (2.63, 4.01)$
**答案**：
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{90%置信区间：} & (2.88, 3.76) \\
\text{95%置信区间：} & (2.79, 3.84) \\
\text{99%置信区间：} & (2.63, 4.01) \\
\end{array}
}
$$
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。计算方法是将所有样本值相加，然后除以样本数量。对于给定的数据集，样本均值 $\overline{x}$ 为：
$$ \overline{x} = \frac{3.3 + 3.1 + 6.2 + \cdots + 2.5}{36} = 3.3167 $$
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差 $s$ 是衡量样本值分散程度的指标。计算方法是先计算每个样本值与样本均值的差的平方，然后求这些平方差的平均值，最后取平方根。对于给定的数据集，样本标准差 $s$ 为：
$$ s = \sqrt{\frac{(3.3 - 3.3167)^2 + (3.1 - 3.3167)^2 + \cdots + (2.5 - 3.3167)^2}{36 - 1}} = 1.6093 $$
步骤 3：计算抽样标准误差
抽样标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 是样本均值的标准差，用于衡量样本均值的波动程度。计算方法是将样本标准差 $s$ 除以样本数量的平方根。对于给定的数据集，抽样标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 为：
$$ \sigma_{\overline{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.6093}{\sqrt{36}} = 0.2682 $$
步骤 4：计算置信区间
置信区间是根据样本数据估计总体参数的可能范围。计算方法是将样本均值 $\overline{x}$ 加上和减去标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 乘以相应的置信水平的临界值 $z$。对于给定的数据集，置信区间为：
- **90%置信水平**：$z_{0.05} = 1.645$，区间为 $(3.3167 \pm 1.645 \times 0.2682) \approx (2.88, 3.76)$
- **95%置信水平**：$z_{0.025} = 1.96$，区间为 $(3.3167 \pm 1.96 \times 0.2682) \approx (2.79, 3.84)$
- **99%置信水平**：$z_{0.005} = 2.576$，区间为 $(3.3167 \pm 2.576 \times 0.2682) \approx (2.63, 4.01)$
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。计算方法是将所有样本值相加，然后除以样本数量。对于给定的数据集，样本均值 $\overline{x}$ 为：
$$ \overline{x} = \frac{3.3 + 3.1 + 6.2 + \cdots + 2.5}{36} = 3.3167 $$
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差 $s$ 是衡量样本值分散程度的指标。计算方法是先计算每个样本值与样本均值的差的平方，然后求这些平方差的平均值，最后取平方根。对于给定的数据集，样本标准差 $s$ 为：
$$ s = \sqrt{\frac{(3.3 - 3.3167)^2 + (3.1 - 3.3167)^2 + \cdots + (2.5 - 3.3167)^2}{36 - 1}} = 1.6093 $$
步骤 3：计算抽样标准误差
抽样标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 是样本均值的标准差，用于衡量样本均值的波动程度。计算方法是将样本标准差 $s$ 除以样本数量的平方根。对于给定的数据集，抽样标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 为：
$$ \sigma_{\overline{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.6093}{\sqrt{36}} = 0.2682 $$
步骤 4：计算置信区间
置信区间是根据样本数据估计总体参数的可能范围。计算方法是将样本均值 $\overline{x}$ 加上和减去标准误差 $\sigma_{\overline{x}}$ 乘以相应的置信水平的临界值 $z$。对于给定的数据集，置信区间为：
- **90%置信水平**：$z_{0.05} = 1.645$，区间为 $(3.3167 \pm 1.645 \times 0.2682) \approx (2.88, 3.76)$
- **95%置信水平**：$z_{0.025} = 1.96$，区间为 $(3.3167 \pm 1.96 \times 0.2682) \approx (2.79, 3.84)$
- **99%置信水平**：$z_{0.005} = 2.576$，区间为 $(3.3167 \pm 2.576 \times 0.2682) \approx (2.63, 4.01)$