题目

8.设某课程的学生考试成绩X(单位:分)服从正态分布，其平均成绩为72分，且已知96分以上的学生占总人数的2.3%.现从中任意抽取一名学生，求其成绩在60至84分之间的概率.(Φ(1)=0.841,Φ(2)=0.977,其中Φ(x)为标准正态分布的分布函数.)

题目解答

答案

设学生考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N(72, \sigma^2)$，已知 $P(X > 96) = 0.023$。
由标准正态分布性质，$P(Z > 2) = 0.023$，其中 $Z = \frac{X - 72}{\sigma}$，解得 $\sigma = 12$。
因此，$X \sim N(72, 12^2)$。
求 $P(60 < X < 84)$，转换为标准正态分布：
$P\left(\frac{60 - 72}{12} < Z < \frac{84 - 72}{12}\right) = P(-1 < Z < 1)$
利用标准正态分布表，$P(Z < 1) = 0.841$，则：
$P(-1 < Z < 1) = 2P(Z < 1) - 1 = 2 \times 0.841 - 1 = 0.682$
答案： $\boxed{0.682}$

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先根据已知条件求出正态分布的标准差$\sigma$，再将所求成绩区间转化为标准正态分布区间，最后利用标准正态分布的分布函数$\varPhi(x)$计算概率。

确定正态分布的标准差$\sigma$：
- 已知学生考试成绩$X$服从正态分布$N(72, \sigma^2)$，即均值$\mu = 72$。
- 又已知$P(X > 96) = 0.023$，根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$），将$X = 96$，$\mu = 72$代入可得$P\left(\frac{X - 72}{\sigma} > \frac{96 - 72}{\sigma}\right)=P\left(Z > \frac{24}{\sigma}\right)=0.023$。
- 查标准正态分布表可知$P(Z > 2) = 0.023$，所以$\frac{24}{\sigma}=2$，解得$\sigma = 12$。
- 因此，$X$服从正态分布$N(72, 12^2)$。
计算成绩在$60$至$84$分之间的概率：
- 要求$P(60 < X < 84)$，同样根据标准化公式，将$X$的区间转化为$Z$的区间，即$P\left(\frac{60 - 72}{12} < \frac{X - 72}{12} < \frac{84 - 72}{12}\right)$。
- 计算$\frac{60 - 72}{12}=-1$，$\frac{84 - 72}{12}=1$，所以$P\left(\frac{60 - 72}{12} < \frac{X - 72}{12} < \frac{84 - 72}{12}\right)=P(-1 < Z < 1)$。
- 根据标准正态分布的性质$P(-1 < Z < 1)=P(Z < 1)-P(Z < -1)$，又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P(Z < -1)=1 - P(Z < 1)$。
- 则$P(-1 < Z < 1)=P(Z < 1)-(1 - P(Z < 1))=2P(Z < 1) - 1$。
- 已知$\varPhi(1)=P(Z < 1)=0.841$，代入可得$P(-1 < Z < 1)=2\times0.841 - 1 = 0.682$。