题目
2.[判断题]如果无穷远点是孤立奇点，那么(Res)[f(z),infty]=-c_(-1)=(1)/(2pi i)oint_(C^-)f(z)dzA. 对B. 错
2.[判断题]如果无穷远点是孤立奇点，那么
$\text{Res}[f(z),\infty]=-c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^{-}}f(z)dz$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查孤立奇点的留数计算以及留数与积分的关系。解题思路如下：
- 首先明确孤立奇点留数的计算公式：对于孤立奇点$z_0$，留数$\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}f(z)dz$，其中$C$是以$z_0$为圆心的正向简单闭曲线。
- 对于无穷远点的留数，我们可以通过将函数在无穷远点附近展开成洛朗级数来计算。设$f(z)$在无穷远点附近的洛朗级数为$f(z)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}c_nz^n$，那么留数$\text{Res}[f(z,\infty)]=-c_{-1}$。
- 然后根据留数与积分的关系，我们可以得到$\text{Res}[f(z,\infty)]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^{-}}f(z)dz$，其中$C^{-}$是以无穷远点为圆心的负向简单闭曲线。