【题目】设随机变量 X∼N(0,1) , Y∼N(1,4) 且相关系数 ρxy=1 ，则（）A. P(Y=-2X-1)=1B. P(Y=2X-1)=1C. P(Y=-2X+1)=1D. P(Y=2X+1)=1

关键知识点：当两个随机变量的相关系数 $\rho_{XY}=1$ 时，它们之间存在完全正线性关系，即 $Y$ 可表示为 $Y = aX + b$（$a>0$），且该等式以概率 $1$ 成立。

解题核心：

1. 利用正态分布的线性性质，通过均值和方差确定系数 $a$ 和 $b$。
2. 根据 $Y \sim N(1,4)$，计算 $a$ 和 $b$ 的值，验证选项中的线性关系。

步骤1：确定线性关系形式

由 $\rho_{XY}=1$，知 $Y = aX + b$，其中 $a>0$。

步骤2：计算均值确定 $b$

• $X \sim N(0,1)$，故 $E(X) = 0$。
• $Y$ 的均值为 $1$，代入线性关系得：
  $E(Y) = aE(X) + b = 0 \cdot a + b = b \implies b = 1.$

步骤3：计算方差确定 $a$

• $X$ 的方差为 $1$，$Y$ 的方差为 $4$，代入方差公式：
  $\text{Var}(Y) = a^2 \text{Var}(X) \implies 4 = a^2 \cdot 1 \implies a = 2 \quad (\text{因 } a>0).$

步骤4：验证选项

唯一满足 $Y = 2X + 1$ 的选项是 D。