题目
半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？
半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？
题目解答
答案
答案：
取x轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x为积分变量，则x的变化范围为
，
对应区间
的球的薄片的体积为
，
该部分在水面以下由于重力与浮力的合力为零(因为球的密度与水的密度相同)，在水面以上移动距离为
，故作功为
解析
步骤 1：确定积分变量和积分范围
取x轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x为积分变量，则x的变化范围为$[ -r,r] $。
步骤 2：计算薄片体积
对应区间$x,x+dx] $的球的薄片的体积为
$N=\pi {(\sqrt {{r}^{2}-{x}^{2}})}^{2}dx=\pi ({r}^{2}-{x}^{2})dx$。
步骤 3：计算薄片的功
该部分在水面以下由于重力与浮力的合力为零(因为球的密度与水的密度相同)，在水面以上移动距离为$r+x$，故作功为
$N= g\pi ({r}^{2}-{x}^{2})(r+x)dx$。
步骤 4：计算总功
$W={\int }_{-r}^{r}g\pi ({r}^{2}-{x}^{2})(r+x)dx$
$={\int }_{-r}^{r}g\pi r({r}^{2}-{x}^{2})dx+{\int }_{-r}^{r}g\pi x({r}^{2}-{x}^{2})dx$
$=2g\pi r{\int }_{0}^{r}({r}^{2}-{x}^{2})dx$
$=2g\pi r\left[ {r}^{2}x-\dfrac {{x}^{3}}{3} \right]_{0}^{r}$
$=2g\pi r\left( {r}^{3}-\dfrac {{r}^{3}}{3} \right)$
$=\dfrac {4}{3}\pi g{r}^{4}$。
取x轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x为积分变量，则x的变化范围为$[ -r,r] $。
步骤 2：计算薄片体积
对应区间$x,x+dx] $的球的薄片的体积为
$N=\pi {(\sqrt {{r}^{2}-{x}^{2}})}^{2}dx=\pi ({r}^{2}-{x}^{2})dx$。
步骤 3：计算薄片的功
该部分在水面以下由于重力与浮力的合力为零(因为球的密度与水的密度相同)，在水面以上移动距离为$r+x$，故作功为
$N= g\pi ({r}^{2}-{x}^{2})(r+x)dx$。
步骤 4：计算总功
$W={\int }_{-r}^{r}g\pi ({r}^{2}-{x}^{2})(r+x)dx$
$={\int }_{-r}^{r}g\pi r({r}^{2}-{x}^{2})dx+{\int }_{-r}^{r}g\pi x({r}^{2}-{x}^{2})dx$
$=2g\pi r{\int }_{0}^{r}({r}^{2}-{x}^{2})dx$
$=2g\pi r\left[ {r}^{2}x-\dfrac {{x}^{3}}{3} \right]_{0}^{r}$
$=2g\pi r\left( {r}^{3}-\dfrac {{r}^{3}}{3} \right)$
$=\dfrac {4}{3}\pi g{r}^{4}$。