题目
2.14 为了调查某广告对销售收入的影响,某商店记录了5个月的销售收入y(万-|||-元)和广告费用x (万元),数据如表 2-6 所示。-|||-表 2-6-|||-月份 1 2 3 4 5 __ -|||-x 1 2 3 4 5 __-|||-y 10 10 20 20 40-|||-(1)画散点图。-|||-(2)x与y之间是否大致呈线性关系?-|||-(3)用最小二乘估计求出回归方程。-|||-(4)求回归标准误差6。-|||-(5)给出β。与β1的置信度为95%的区间估计。-|||-(6)计算x与y的决定系数。-|||-(7)对回归方程做方差分析。-|||-(8)做回归系数β1的显著性检验。-|||-(9)做相关系数的显著性检验。-|||-(10)对回归方程作残差图并做相应的分析。-|||-(11)求当广告费用为4.2万元时,销售收入将达到多少,并给出置信度为95 %的置-|||-信区间。
题目解答
答案
解析
步骤 1：画散点图
根据给定的数据，绘制散点图，其中x轴表示广告费用，y轴表示销售收入。散点图可以帮助我们直观地判断x与y之间是否存在线性关系。
步骤 2：判断线性关系
观察散点图，如果散点大致呈直线趋势，则可以认为x与y之间存在线性关系。
步骤 3：求回归方程
使用最小二乘法估计回归方程。回归方程的一般形式为：$y = \beta_0 + \beta_1 x$，其中$\beta_0$是截距，$\beta_1$是斜率。
步骤 4：求回归标准误差
回归标准误差（$\sigma$）是衡量回归方程预测值与实际值之间差异的指标。计算公式为：$\sigma = \sqrt{\frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{n-2}}$，其中$n$是样本量，$y_i$是实际值，$\hat{y}_i$是预测值。
步骤 5：求$\beta_0$与$\beta_1$的置信区间
使用t分布求出$\beta_0$与$\beta_1$的置信区间。置信区间的一般形式为：$\beta_i \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\beta_i)$，其中$t_{\alpha/2, n-2}$是t分布的临界值，$SE(\beta_i)$是$\beta_i$的标准误差。
步骤 6：计算决定系数
决定系数（$R^2$）是衡量回归方程解释能力的指标。计算公式为：$R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}$，其中$\bar{y}$是y的均值。
步骤 7：方差分析
对回归方程进行方差分析，检验回归方程的显著性。方差分析表包括回归平方和（SSR）、残差平方和（SSE）和总平方和（SST）。
步骤 8：回归系数的显著性检验
使用t检验对回归系数$\beta_1$进行显著性检验。检验统计量为：$t = \frac{\beta_1}{SE(\beta_1)}$，其中$SE(\beta_1)$是$\beta_1$的标准误差。
步骤 9：相关系数的显著性检验
使用t检验对相关系数$r$进行显著性检验。检验统计量为：$t = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$。
步骤 10：残差图分析
绘制残差图，分析残差的分布情况。残差图可以帮助我们判断回归方程的适用性。
步骤 11：预测值及置信区间
根据回归方程预测当广告费用为4.2万元时的销售收入，并给出置信度为95%的置信区间。预测值的置信区间为：$\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{y})$，其中$SE(\hat{y})$是预测值的标准误差。
根据给定的数据，绘制散点图，其中x轴表示广告费用，y轴表示销售收入。散点图可以帮助我们直观地判断x与y之间是否存在线性关系。
步骤 2：判断线性关系
观察散点图，如果散点大致呈直线趋势，则可以认为x与y之间存在线性关系。
步骤 3：求回归方程
使用最小二乘法估计回归方程。回归方程的一般形式为：$y = \beta_0 + \beta_1 x$，其中$\beta_0$是截距，$\beta_1$是斜率。
步骤 4：求回归标准误差
回归标准误差（$\sigma$）是衡量回归方程预测值与实际值之间差异的指标。计算公式为：$\sigma = \sqrt{\frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{n-2}}$，其中$n$是样本量，$y_i$是实际值，$\hat{y}_i$是预测值。
步骤 5：求$\beta_0$与$\beta_1$的置信区间
使用t分布求出$\beta_0$与$\beta_1$的置信区间。置信区间的一般形式为：$\beta_i \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\beta_i)$，其中$t_{\alpha/2, n-2}$是t分布的临界值，$SE(\beta_i)$是$\beta_i$的标准误差。
步骤 6：计算决定系数
决定系数（$R^2$）是衡量回归方程解释能力的指标。计算公式为：$R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}$，其中$\bar{y}$是y的均值。
步骤 7：方差分析
对回归方程进行方差分析，检验回归方程的显著性。方差分析表包括回归平方和（SSR）、残差平方和（SSE）和总平方和（SST）。
步骤 8：回归系数的显著性检验
使用t检验对回归系数$\beta_1$进行显著性检验。检验统计量为：$t = \frac{\beta_1}{SE(\beta_1)}$，其中$SE(\beta_1)$是$\beta_1$的标准误差。
步骤 9：相关系数的显著性检验
使用t检验对相关系数$r$进行显著性检验。检验统计量为：$t = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$。
步骤 10：残差图分析
绘制残差图，分析残差的分布情况。残差图可以帮助我们判断回归方程的适用性。
步骤 11：预测值及置信区间
根据回归方程预测当广告费用为4.2万元时的销售收入，并给出置信度为95%的置信区间。预测值的置信区间为：$\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{y})$，其中$SE(\hat{y})$是预测值的标准误差。