题目

5.设X1,X2,X3,X4是取自正态总体N(0,4)的简单随机样本,设-|||-=a(({X)_(1)-2(X)_(2))}^2+b((3{X)_(3)-4(X)_(4))}^2 ,X,S^2分别为样本均值和样本方差,若Y服从-|||-方差为4的x^2分布,则 (aoverline (X)-b(S)^2)=

$\begin{aligned} & 5.设X_1,X_2,X_3,X_4是取自正态总体N(0,4)的简单随机样本,设 \\ & Y=a(X_{1}-2X_{2})^{2}+b(3X_{3}-4X_{4})^{2},\overline{X},S^{2}\text{分别为样本均值和样本方差,若}Y\text{服从} \\ & \text{方差为4的}\chi^2\text{分布,则}D(a\overline{X}-bS^2)=\_. \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} \mathrm{1.} & \text{求}a\mathrm{、}b\text{的值:} \\ & \text{设}U=X_1-2X_2\mathrm{,}V=3X_3-4X_4\mathrm{。} \\ & \text{因为}X_i\text{服从}N(0,4)\text{,根据正态分布的线性变换性质可得}: \\ & E(U)=E(X_1-2X_2)=E(X_1)-2E(X_2)=0-2\times0=0\mathrm{;} \\ &D(U)=D(X_1-2X_2)=D(X_1)+4D(X_2)=4+4\times4=20\text{(利用方差性质} \\ & D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)\text{,这里}a=1\mathrm{,}b=-2\mathrm{)。} \\ & \text{所以}U\text{服从}N(0,20)\text{,则}\frac{U}{\sqrt{20}}\text{服从}N(0,1)\mathrm{,}(\frac{U}{\sqrt{20}})^2\text{服从自由度为1的}\chi^2\text{分布,即}(X_1-2X_2)^2/20\text{服从} \\ & \text{自由度为1的}\chi^2\text{分布,对比}Y=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2\text{,可得}a=\frac{1}{20}. \end{aligned}$ $\begin{aligned} & \text{同理,}E(V)=E(3X_3-4X_4)=3E(X_3)-4E(X_4)=0; \\ & D(V)=D(3X_3-4X_4)=9D(X_3)+16D(X_4)=9\times4+ \\ & D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)\text{,这里}a=3\mathrm{,}b=-4\mathrm{)。} \\ & \text{所以}V\text{服从}N(0,100)\text{,则}\frac{V}{\sqrt{100}}\text{服从}N(0,1)\mathrm{,}(\frac{V}{\sqrt{100}})^2\text{服从自由度为1的}\chi^2\text{分布,即}(3X_3-4X_4)^2/100 \\ & \text{服从自由度为1的}\chi^2\text{分布,对比}Y=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2\text{,可得}b=\frac{1}{100}. \end{aligned}$ $\begin{aligned} & 2 . \text{计算}D(a\overline{X}-bS^2)\mathrm{:} \\ & \text{已知}X_i\text{取自正态总体}N(0,4)\text{,样本容量}n=4\text{,则}D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{4}{4}=1\mathrm{,}E(S^2)=\sigma^2=4\mathrm{。} \\ & \text{根据方差的性质}D(a\overline{X}-bS^2)=a^2D(\overline{X})+b^2D(S^2)\text{(这里要求}\overline{X}\text{与}S^2\text{相互独立,对于正态总体的样本}\\ & \text{均值和样本方差是满足相互独立这一性质的)。} \\ &D(\overline{X})=1\mathrm{,}D(S^2)\text{的值需要进一步推导,由}(n-1)S^2/\sigma^2\text{服从自由度为}n-1\text{的}\chi^2\text{分布(这里} \\ & n-1=3\mathrm{,}\sigma^2=4\text{),对于自由度为}k\text{的}\chi^2\text{分布,其方差为}2k\text{,所以} \\ & D((n-1)S^2/\sigma^2)=D(3S^2/4)=2\times3=6\text{,根据方差性质}D(cZ)=c^2D(Z)\text{(这里}c=\frac{3}{4})\text{,可得} \\ & D(S^2)=\frac{6\times16}{9}=\frac{32}{3}. \\ & \text{则}D(a\overline{X}-bS^2)=a^2D(\overline{X})+b^2D(S^2)=\left(\frac{1}{20}\right)^2\times1+\left(\frac{1}{100}\right)^2\times\frac{32}{3}=\frac{107}{30000}。 \\ & \text{故答案为}\frac{107}{30000}。 \end{aligned}$