题目
三、(本题10分)甲、乙、丙三台机床加工同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5:3:2，各机床所加工的零件合格率依次为94%，90%，95%。现从加工好的零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。
三、(本题10分)甲、乙、丙三台机床加工同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5:3:2，各机床所加工的零件合格率依次为94%，90%，95%。现从加工好的零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。
题目解答
答案
设事件 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $ 分别表示零件由甲、乙、丙机床加工，$ B $ 表示零件为废品。已知各机床加工比例为 $ 5:3:2 $，合格率分别为 $ 94\% $、$ 90\% $、$ 95\% $，则废品率分别为 $ 6\% $、$ 10\% $、$ 5\% $。
计算总废品率：
\[
P(B) = 0.5 \times 0.06 + 0.3 \times 0.10 + 0.2 \times 0.05 = 0.07
\]
由贝叶斯定理，废品由甲机床加工的概率为：
\[
P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.5 \times 0.06}{0.07} = \frac{3}{7}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{3}{7}}$
解析
步骤 1：定义事件
设事件 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $ 分别表示零件由甲、乙、丙机床加工，$ B $ 表示零件为废品。根据题目，各机床加工比例为 $ 5:3:2 $，合格率分别为 $ 94\% $、$ 90\% $、$ 95\% $，则废品率分别为 $ 6\% $、$ 10\% $、$ 5\% $。
步骤 2：计算总废品率
根据全概率公式，总废品率 $ P(B) $ 可以表示为各机床废品率的加权平均，即：
\[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \]
代入已知数据：
\[ P(B) = 0.5 \times 0.06 + 0.3 \times 0.10 + 0.2 \times 0.05 = 0.07 \]
步骤 3：应用贝叶斯定理
根据贝叶斯定理，废品由甲机床加工的概率 $ P(A_1|B) $ 可以表示为：
\[ P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} \]
代入已知数据：
\[ P(A_1|B) = \frac{0.5 \times 0.06}{0.07} = \frac{3}{7} \]
设事件 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $ 分别表示零件由甲、乙、丙机床加工，$ B $ 表示零件为废品。根据题目，各机床加工比例为 $ 5:3:2 $，合格率分别为 $ 94\% $、$ 90\% $、$ 95\% $，则废品率分别为 $ 6\% $、$ 10\% $、$ 5\% $。
步骤 2：计算总废品率
根据全概率公式，总废品率 $ P(B) $ 可以表示为各机床废品率的加权平均，即：
\[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \]
代入已知数据：
\[ P(B) = 0.5 \times 0.06 + 0.3 \times 0.10 + 0.2 \times 0.05 = 0.07 \]
步骤 3：应用贝叶斯定理
根据贝叶斯定理，废品由甲机床加工的概率 $ P(A_1|B) $ 可以表示为：
\[ P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} \]
代入已知数据：
\[ P(A_1|B) = \frac{0.5 \times 0.06}{0.07} = \frac{3}{7} \]