题目
设齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0 2(x)_(1)-k(x)_(2)+x3=0 3(x)_(1)-2(x)_(2)+2(x)_(3)=0 .有非零解，则k=（ ）A.1B.2C.3D.0
设齐次线性方程组
有非零解，则k=（ ）
A.1
B.2
C.3
D.0
题目解答
答案
齐次线性方程组系数矩阵为
方阵，适用于克拉默法则，方程组有非零解，而方程组恒有零解，故方程组不是有唯一解，根据克拉默法则，系数矩阵行列式为0。
系数矩阵为
,行列式为
得知k=3
故正确答案为C
解析
步骤 1：确定方程组的系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -k & 1 \\
3 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
根据克拉默法则，方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0。计算行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -k & 1 \\
3 & -2 & 2
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：展开行列式
使用第一行展开行列式：
$$
\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
-k & 1 \\
-2 & 2
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -k \\
3 & -2
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算各子行列式
$$
\begin{vmatrix}
-k & 1 \\
-2 & 2
\end{vmatrix} = (-k) \cdot 2 - 1 \cdot (-2) = -2k + 2
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & -k \\
3 & -2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - (-k) \cdot 3 = -4 + 3k
$$
步骤 5：将子行列式代入行列式计算
$$
\det(A) = 1 \cdot (-2k + 2) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-4 + 3k) = -2k + 2 - 1 - 4 + 3k = k - 3
$$
步骤 6：求解行列式为0的条件
$$
k - 3 = 0
$$
$$
k = 3
$$
方程组的系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -k & 1 \\
3 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
根据克拉默法则，方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0。计算行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -k & 1 \\
3 & -2 & 2
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：展开行列式
使用第一行展开行列式：
$$
\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
-k & 1 \\
-2 & 2
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -k \\
3 & -2
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算各子行列式
$$
\begin{vmatrix}
-k & 1 \\
-2 & 2
\end{vmatrix} = (-k) \cdot 2 - 1 \cdot (-2) = -2k + 2
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & -k \\
3 & -2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - (-k) \cdot 3 = -4 + 3k
$$
步骤 5：将子行列式代入行列式计算
$$
\det(A) = 1 \cdot (-2k + 2) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-4 + 3k) = -2k + 2 - 1 - 4 + 3k = k - 3
$$
步骤 6：求解行列式为0的条件
$$
k - 3 = 0
$$
$$
k = 3
$$