甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现 a 个错字，乙发现 b 个错字，其中共同发现的错字有 c 个，试用矩估计给出如下两个未知参数的估计：(1) 该书样稿的总错字个数；(2) 未被发现的错字数。

我们来逐步分析并解决这个题目。

题目理解

甲、乙两名校对员独立校对同一本书的样稿：

• 甲发现了 $ a $ 个错字；
• 乙发现了 $ b $ 个错字；
• 两人共同发现的错字有 $ c $ 个。

注意：这里的“共同发现”是指甲和乙都发现的错字数量，即交集为 $ c $。

我们要用矩估计法来估计：

1. 该书样稿的总错字个数（记为 $ N $）；
2. 未被发现的错字数（即 $ N - (a \cup b) $，其中 $ a \cup b $ 是至少被一个人发现的错字数）。

解题思路

这是一个经典的捕获-再捕获（Capture-Recapture）模型的应用问题，常用于生态学中估计动物种群数量，在这里用于估计总错字数。

类比：捕获-再捕获模型

• 第一次“捕获”：甲校对，发现 $ a $ 个错字，标记（即“捕获并标记”）；
• 第二次“捕获”：乙校对，发现 $ b $ 个错字，其中 $ c $ 个是甲也发现的（相当于“重捕”中标记个体数）；
• 假设总体有 $ N $ 个错字。

在捕获-再捕获模型中，经典估计是：
$\frac{c}{b} \approx \frac{a}{N} \quad \Rightarrow \quad N \approx \frac{a b}{c}$
这是基于比例的思想：乙发现的错字中，有 $ c/b $ 的比例是甲也发现的，这应近似等于甲发现的比例 $ a/N $。

下面我们用矩估计法来严格推导。

矩估计法建模

设：

• 总错字数为 $ N $（未知参数，待估计）；
• 每个错字被甲发现的概率为 $ p_1 $；
• 每个错字被乙发现的概率为 $ p_2 $；
• 甲、乙独立工作，所以发现是独立事件。

但我们这里不估计 $ p_1, p_2 $，而是直接对 $ N $ 做估计。

考虑期望：

• 甲发现的错字数：$ a \approx \text{Binomial}(N, p_1) $，期望为 $ \mathbb{E}[a] = N p_1 $；
• 乙发现的错字数：$ b \approx \text{Binomial}(N, p_2) $，期望为 $ \mathbb{E}[b] = N p_2 $；
• 两人共同发现的错字数：每个错字被两人同时发现的概率为 $ p_1 p_2 $，所以：
  $\mathbb{E}[c] = N p_1 p_2$

现在我们有三个期望：

$\mathbb{E}[a] = N p_1, \quad \mathbb{E}[b] = N p_2, \quad \mathbb{E}[c] = N p_1 p_2$

用矩估计法，用样本矩代替总体矩：

• 用 $ a $ 估计 $ \mathbb{E}[a] $
• 用 $ b $ 估计 $ \mathbb{E}[b] $
• 用 $ c $ 估计 $ \mathbb{E}[c] $

于是有近似等式：
$a \approx N p_1, \quad b \approx N p_2, \quad c \approx N p_1 p_2$

将前两个代入第三个：

$c \approx N \cdot \left( \frac{a}{N} \right) \cdot \left( \frac{b}{N} \right) = \frac{a b}{N}$

解这个方程得：
$c \approx \frac{a b}{N} \quad \Rightarrow \quad N \approx \frac{a b}{c}$

(1) 总错字个数的矩估计

因此，总错字数 $ N $ 的矩估计为：
$\hat{N} = \frac{a b}{c}$

> 注意：这个估计基于独立性和均匀发现概率的假设，虽然现实中可能不完全成立，但这是矩估计下的合理推导。

(2) 未被发现的错字数的估计

未被发现的错字数 = 总错字数 $-$ 至少被一个人发现的错字数。

至少被一个人发现的错字数为：
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = a + b - c$

因此，未被发现的错字数估计为：
$\hat{U} = \hat{N} - (a + b - c) = \frac{a b}{c} - (a + b - c)$

最终答案

(1) 该书样稿的总错字个数的矩估计为：

$\boxed{\hat{N} = \frac{a b}{c}}$

(2) 未被发现的错字数的矩估计为：

$\boxed{\hat{U} = \frac{a b}{c} - (a + b - c)}$

补充说明

• 这个估计方法在实际中被称为 Lincoln-Petersen 捕获-再捕获估计量，常用于种群估计，也适用于此类“遗漏估计”问题。
• 要求 $ c > 0 $，否则估计无意义（分母为零）。
• 假设甲、乙发现错字是独立的，且每个错字被发现的概率相同（虽然实际中可能有偏差，但这是矩估计的标准假设）。

✅ 解题完成。